5902. Neodredjeni integrali

Za $x>0$ korene sređujemo od unutrašnjeg ka spoljašnjem, pišući ih kao stepene i sabirajući izložioce:

x\sqrt x=x^{\frac32},\qquad x\sqrt{x^{\frac32}}=x\cdot x^{\frac34}=x^{\frac74},\qquad\sqrt{x^{\frac74}}=x^{\frac78}

Provera brojem: za $x=2^8=256$ je $\sqrt{256}=16 ,$ $\sqrt{256\cdot16}=64 ,$ $\sqrt{256\cdot64}=128 ,$ a $256^{\frac78}=2^7=128 .$ Sada primenjujemo $\int x^a\,dx=\frac{x^{a+1}}{a+1}+C$ (za $a\neq-1$ ):

\int x^{\frac78}\,dx=\frac{x^{\frac{15}8}}{\frac{15}8}+C=\frac8{15}x^{\frac{15}8}+C

Pošto je $x^{\frac{15}8}=x\cdot x^{\frac78}=x\sqrt[8]{x^7} ,$ rezultat je $\frac8{15}x\sqrt[8]{x^7}+C .$ Provera diferenciranjem:

\left(\frac8{15}x^{\frac{15}8}\right)'=\frac8{15}\cdot\frac{15}8x^{\frac78}=x^{\frac78}

Dakle, $\int\sqrt{x\sqrt{x\sqrt x}}\,dx=\frac8{15}x\sqrt[8]{x^7}+C .$

Započni učenje

Privatni časovi

318.đ

Beleške

Slični zadaci

Slični zadaci