5918. Neodredjeni integrali

Pošto je $b^{-x}=\frac1{b^x} ,$ proizvod je stepen jedne osnove:

a^x\cdot b^{-x}=\frac{a^x}{b^x}=\left(\frac ab\right)^x

Osnova $\frac ab$ je pozitivna, a zbog $a\neq b$ je različita od $1 .$ Zato smemo da primenimo $\int a^x\,dx=\frac{a^x}{\ln a}+C$ (za $a>0,\ a\neq1$ ). Logaritam količnika je $\ln\frac ab=\ln a-\ln b :$

\int\left(\frac ab\right)^x dx=\frac{\left(\frac ab\right)^x}{\ln a-\ln b}+C

Provera:

\left(\frac{\left(\frac ab\right)^x}{\ln a-\ln b}\right)'=\frac{\left(\frac ab\right)^x\ln\frac ab}{\ln a-\ln b}=\left(\frac ab\right)^x

Traženi integral je $\frac1{\ln a-\ln b}\left(\frac ab\right)^x+C .$ Uslov $a\neq b$ je bitan: za $a=b$ bi imenilac bio nula, a integral bi bio prosto $\int1\,dx=x+C .$

Započni učenje

Privatni časovi

319.đ

Beleške

Slični zadaci

Slični zadaci