Geometrijski red: zbir površina upisanih krugova

Visina jednakostraničnog trougla stranice $a$ je $h=\frac{a\sqrt3}2 .$ Centar upisanog kruga deli visinu u odnosu $2:1 ,$ pa je poluprečnik upisanog kruga trećina visine:

r_1=\frac h3=\frac{a\sqrt3}6,\qquad P_1=\pi r_1^2=\frac{\pi a^2}{12}

Taj krug je opisan oko sledećeg trougla, stranice $a_2 .$ Poluprečnik opisanog kruga jednak je dvema trećinama visine:

r_1=\frac23\cdot\frac{a_2\sqrt3}2=\frac{a_2\sqrt3}3\quad\Rightarrow\quad a_2=r_1\sqrt3=\frac a2

Svaki sledeći trougao ima dvostruko manju stranicu, pa je i poluprečnik kruga dvostruko manji, a površina četiri puta manja. Površine krugova čine geometrijski niz sa količnikom $\frac14 :$

S=\frac{P_1}{1-\frac14}=\frac{\pi a^2}{12}\cdot\frac43=\frac{\pi a^2}9

Zbir površina svih krugova je $\frac{\pi a^2}9 .$

Započni učenje

Privatni časovi

34

Beleške

Slični zadaci

Slični zadaci