6018. Metoda smene promenljive

Računamo izvod imenioca: $(\sin^2x+1)'=2\sin x\cos x ,$ a po formuli dvostrukog ugla $2\sin x\cos x=\sin2x .$ Dakle, brojilac je izvod imenioca. Koristimo rezultat zadatka 329.a: smenom $t=f(x) ,$ $dt=f'(x)\,dx$ dobija se $\int\frac{f'(x)\,dx}{f(x)}=\int\frac{dt}{t}=\ln|f(x)|+C .$

t=\sin^2x+1,\qquad dt=2\sin x\cos x\,dx=\sin2x\,dx

Integral:

\int\frac{\sin2x}{\sin^2x+1}\,dx=\int\frac{dt}{t}=\ln|t|+C=\ln(\sin^2x+1)+C

Apsolutna vrednost nije potrebna jer je $\sin^2x+1\ge1>0 .$ Provera:

\left(\ln(\sin^2x+1)\right)'=\frac{2\sin x\cos x}{\sin^2x+1}=\frac{\sin2x}{\sin^2x+1}

Konačno, $\int\frac{\sin2x}{\sin^2x+1}\,dx=\ln(\sin^2x+1)+C .$

Započni učenje

Privatni časovi

330.ž

Beleške

Slični zadaci

Slični zadaci