6588. Međusobni odnosi tačaka pravih i ravni

Neka je $O$ podnožje normale iz $M$ na ravan $\pi$ ; tražimo $d=MO .$ Po definiciji, prava $n$ je normalna na ravan $\pi$ ako je prodire i upravna je na svakoj pravoj te ravni koja sadrži prodornu tačku. Zato su $MO\perp OA ,$ $MO\perp OB ,$ $MO\perp OC ,$ i trouglovi $MOA, MOB, MOC$ su pravougli. Po Pitagorinoj teoremi:

OA^2=MA^2-MO^2=\left(\frac53a\right)^2-d^2=OB^2=OC^2

Tačka $O$ je jednako udaljena od sva tri temena, pa je centar kruga opisanog oko trougla $ABC .$ Kod jednakostraničnog trougla poluprečnik tog kruga je $\frac23$ visine:

R=OA=\frac23\cdot\frac{a\sqrt3}{2}=\frac{a\sqrt3}{3}

Iz pravouglog trougla $MOA$ računamo traženo rastojanje:

d=\sqrt{MA^2-R^2}=\sqrt{\frac{25a^2}{9}-\frac{3a^2}{9}}=\sqrt{\frac{22a^2}{9}}=\frac{a\sqrt{22}}{3}

Provera za $a=3 :$ $MA=5 ,$ $R=\sqrt3\approx1{,}732 ,$ pa je $d=\sqrt{25-3}=\sqrt{22}\approx4{,}690 ,$ a formula daje $\frac{3\sqrt{22}}{3}=\sqrt{22} ,$ što se slaže sa dobijenim rezultatom.

Rastojanje tačke $M$ od ravni $\pi$ je $\frac{a\sqrt{22}}{3}\approx1{,}56a .$

Započni učenje

Privatni časovi

131

Beleške

Slični zadaci

Slični zadaci