4727. Površina mnogougla

REŠENJE ZADATKA

Za osnovicu $a=16$ i krak $c=10$ računamo površinu jednakokrakog trougla datom formulom, a poluobim je $s=(16+10+10)/2 :$

P=\frac{a}{4}\sqrt{4c^2-a^2}=\frac{16}{4}\sqrt{4\cdot10^2-16^2}=48,\qquad s=18

Iz formula $P=rs$ i $P=abc/(4R)$ računamo oba poluprečnika:

r=\frac{P}{s}=\frac{48}{18}=\frac83,\qquad R=\frac{16\cdot10\cdot10}{4\cdot48}=\frac{25}{3}

Visina na osnovicu je $h=2P/a=6 .$ Zbog simetrije središta $O$ i $S$ leže na toj visini, a $S$ je na rastojanju $r=8/3$ od osnovice. Ako je $t$ usmereno rastojanje središta $O$ od osnovice ka temenu, jednakost njegovih rastojanja do temena i kraja poluosnovice daje:

8^2+t^2=(6-t)^2 \implies 64=36-12t \implies t=-\frac73

Negativan znak znači da je $O$ sa druge strane osnovice, na rastojanju $7/3$ od nje. Zato je rastojanje središta zbir tih rastojanja od osnovice:

OS=\frac83+\frac73=5

Tražene dužine su $r=\frac83 ,$ $R=\frac{25}{3}$ i $OS=5 .$