6562. Međusobni odnosi tačaka pravih i ravni

Podsetimo se definicija. Prave $a$ i $b$ su mimoilazne ako ne postoji ravan koja sadrži obe te prave. Dve prave su paralelne ako leže u jednoj ravni i nemaju zajedničkih tačaka (ili se poklapaju). Primer mimoilaznih pravih na kocki $ABCDA_1B_1C_1D_1 :$ ivice $AB$ i $CC_1$ — jedna je „vodoravna”, druga „uspravna”, i nikakva ravan ne sadrži obe.

Koristimo poznato svojstvo paralelnosti pravih u prostoru (tranzitivnost): dve prave paralelne trećoj pravoj paralelne su i među sobom.

c\parallel a,\ \ c\parallel b \implies a\parallel b

Pretpostavimo da postoji prava $c$ paralelna i sa $a$ i sa $b .$ Tada bi po tranzitivnosti bilo $a\parallel b ,$ pa bi prave $a$ i $b$ ležale u jednoj ravni. To protivreči tome da su $a$ i $b$ mimoilazne.

a\parallel b \implies \exists\,\sigma:\ a\subset\sigma,\ b\subset\sigma \quad (\text{kontradikcija})

Iskaz nije istinit: ne postoji prava paralelna sa dve mimoilazne prave. Na kocki: prava paralelna ivici $AB$ je „vodoravna” u pravcu $AB ,$ a prava paralelna ivici $CC_1$ je „uspravna”, pa nijedna prava ne može biti oboje.

Započni učenje

Privatni časovi

108.a

Beleške

Slični zadaci

Slični zadaci