Jednačina (koren iz x) na (log3 x − 1) = 3

Zbog prisustva kvadratnog korena i logaritma, prvo određujemo domen jednačine. Argument logaritma i potkorena veličina moraju biti strogo veći od nule.

x > 0

Zapišimo kvadratni koren kao stepen sa racionalnim izložiocem $\sqrt{x} = x^{\frac{1}{2}} .$

(x^{\frac{1}{2}})^{\log_3 x - 1} = 3

Pomnožimo izložioce koristeći pravilo za stepenovanje stepena $(a^m)^n = a^{m \cdot n} .$

x^{\frac{1}{2}(\log_3 x - 1)} = 3

Logaritmujmo obe strane jednačine za osnovu 3.

\log_3 \left( x^{\frac{1}{2}(\log_3 x - 1)} \right) = \log_3 3

Primenimo pravilo za logaritam stepena $\log_a (b^c) = c \cdot \log_a b$ i činjenicu da je $\log_3 3 = 1 .$

\frac{1}{2}(\log_3 x - 1) \cdot \log_3 x = 1

Uvedimo smenu $t = \log_3 x$ kako bismo uprostili jednačinu.

\frac{1}{2}(t - 1)t = 1

Pomnožimo jednačinu sa 2 i sredimo izraz da dobijemo kvadratnu jednačinu.

t^2 - t - 2 = 0

Rešimo dobijenu kvadratnu jednačinu po $t .$

t_{1,2} = \frac{1 \pm \sqrt{(-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-2)}}{2} = \frac{1 \pm 3}{2}

Dobijamo dva rešenja za $t .$

t_1 = 2, \quad t_2 = -1

Vratimo smenu za prvo rešenje $t_1 = 2 .$

\log_3 x = 2 \implies x_1 = 3^2 = 9

Vratimo smenu za drugo rešenje $t_2 = -1 .$

\log_3 x = -1 \implies x_2 = 3^{-1} = \frac{1}{3}

Oba rešenja zadovoljavaju početni uslov $x > 0 ,$ pa su oba validna. Zapišimo konačan skup rešenja.

x \in \left\{ \frac{1}{3}, 9 \right\}

Započni učenje

Online časovi

536.b

Beleške