2295.

Logaritamske jednačine

Zapišimo brojeve 8 i 500 preko njihovih prostih faktora. Znamo da je $8 = 2^3$ i $500 = 5^3 \cdot 2^2 .$

Pomnožimo izložioce nad osnovom 2 na levoj strani:

Podelimo obe strane jednačine sa $5^3 \cdot 2^2$ kako bismo grupisali stepene sa istim osnovama:

Primenimo pravilo za deljenje stepena istih osnova $\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n} :$

Sredimo izložilac nad osnovom 2:

Zamenimo dobijeni izložilac nazad u jednačinu:

Primetimo da oba stepena imaju faktor $x-3$ u izložiocu. Možemo prepisati stepen osnove 2:

Primenimo pravilo $a^n \cdot b^n = (a \cdot b)^n :$

Jednačina oblika $A^B = 1$ je zadovoljena kada je izložilac $B = 0$ (uz uslov $A \neq 0$) ili kada je osnova $A = 1 .$ Slučaj $A = -1$ nije moguć jer je $5 \cdot 2^{\frac{1}{x}} > 0$ za svako realno $x \neq 0 .$

Prvi slučaj: izložilac je jednak nuli.

Drugi slučaj: osnova je jednaka jedinici.

Rešimo ovu jednačinu po $x :$

Logaritmujemo obe strane za osnovu 2:

Znamo da je $\log_2 \left(\frac{1}{5}\right) = -\log_2 5 :$

Izrazimo $x :$

Primenom osobine logaritma $\frac{1}{\log_a b} = \log_b a ,$ dobijamo konačno rešenje za drugi slučaj:

Oba rešenja su validna jer zadovoljavaju uslov definisanosti $x \neq 0$ (zbog imenioca u početnoj jednačini). Skup rešenja je: