2368. Logaritamske jednačine

Za definisanost logaritama neophodno je da važi:

x > 0, \quad y > 0

Koristimo poznatu osobinu logaritama $a^{\log_b c} = c^{\log_b a} ,$ na osnovu koje važi:

x^{\log_3 y} = y^{\log_3 x}

Zamenom ovog identiteta u prvu jednačinu sistema dobijamo:

y^{\log_3 x} + 2y^{\log_3 x} = 27

Sređivanjem jednačine dobijamo:

3y^{\log_3 x} = 27 \implies y^{\log_3 x} = 9

Iz druge jednačine sistema izražavamo $y$ preko $x :$

\log_3 y - \log_3 x = 1 \implies \log_3 \frac{y}{x} = 1 \implies \frac{y}{x} = 3^1 \implies y = 3x

Zamenjujemo $y = 3x$ u pojednostavljenu prvu jednačinu $y^{\log_3 x} = 9 :$

(3x)^{\log_3 x} = 9

Logaritmujemo obe strane jednačine za osnovu 3:

\log_3 \left((3x)^{\log_3 x}\right) = \log_3 9

Primenjujemo osobine logaritama $\log_b (a^c) = c \log_b a$ i $\log_b (ac) = \log_b a + \log_b c :$

\log_3 x \cdot \log_3 (3x) = 2 \implies \log_3 x \cdot (\log_3 3 + \log_3 x) = 2

Sređujemo izraz znajući da je $\log_3 3 = 1 :$

\log_3 x \cdot (1 + \log_3 x) = 2 \implies (\log_3 x)^2 + \log_3 x - 2 = 0

Uvodimo smenu $t = \log_3 x :$

t^2 + t - 2 = 0

Rešavamo kvadratnu jednačinu po $t :$

t_{1,2} = \frac{-1 \pm \sqrt{1^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-2)}}{2} = \frac{-1 \pm 3}{2}

Dobijamo dva rešenja za $t :$

t_1 = -2, \quad t_2 = 1

Vraćamo smenu za $t_1 = -2 :$

\log_3 x = -2 \implies x_1 = 3^{-2} = \frac{1}{9}

Računamo odgovarajuće $y_1$ koristeći vezu $y = 3x :$

y_1 = 3 \cdot \frac{1}{9} = \frac{1}{3}

Vraćamo smenu za $t_2 = 1 :$

\log_3 x = 1 \implies x_2 = 3^1 = 3

Računamo odgovarajuće $y_2 :$

y_2 = 3 \cdot 3 = 9

Oba rešenja zadovoljavaju početni uslov $x > 0, y > 0 .$ Konačna rešenja sistema su:

(x, y) \in \left\{ \left(\frac{1}{9}, \frac{1}{3}\right), (3, 9) \right\}

2368.Logaritamske jednačine