2297. Logaritamske jednačine

Prvo određujemo domen jednačine. Argumenti logaritama moraju biti strogo veći od nule:

4x > 0 \quad \text{i} \quad \frac{x^2}{8} > 0

Iz ovoga sledi da je domen jednačine:

x > 0

Transformišemo prvi sabirak. Koristimo osobinu promene osnove logaritma $\log_{1/2}(4x) = -\log_2(4x) :$

\log_{1/2}^2(4x) = (-\log_2(4x))^2 = (\log_2(4x))^2

Primenjujemo osobinu logaritma proizvoda $\log_2(4x) = \log_2 4 + \log_2 x = 2 + \log_2 x :$

(\log_2(4x))^2 = (2 + \log_2 x)^2

Za drugi sabirak koristimo osobinu logaritma količnika i stepena. Kako je $\log_2(x^2) = 2\log_2|x| ,$ definišemo apsolutnu vrednost:

|x| = \begin{cases} x, & \text{za } x \ge 0 \\ -x, & \text{za } x < 0 \end{cases}

S obzirom na to da je domen $x > 0 ,$ važi $|x| = x .$ Transformišemo drugi sabirak:

\log_2\left(\frac{x^2}{8}\right) = \log_2(x^2) - \log_2 8 = 2\log_2 x - 3

Zamenjujemo dobijene izraze u početnu jednačinu:

(2 + \log_2 x)^2 + 2\log_2 x - 3 = 8

Kvadriramo binom i sređujemo jednačinu:

4 + 4\log_2 x + (\log_2 x)^2 + 2\log_2 x - 3 = 8

Grupišemo slične članove:

(\log_2 x)^2 + 6\log_2 x - 7 = 0

Uvodimo smenu $t = \log_2 x :$

t^2 + 6t - 7 = 0

Rešavamo kvadratnu jednačinu po $t :$

t_{1,2} = \frac{-6 \pm \sqrt{6^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-7)}}{2} = \frac{-6 \pm \sqrt{36 + 28}}{2} = \frac{-6 \pm 8}{2}

Dobijamo rešenja za $t :$

t_1 = -7, \quad t_2 = 1

Vraćamo smenu za $t_1 = -7 :$

\log_2 x = -7 \implies x_1 = 2^{-7} = \frac{1}{128}

Vraćamo smenu za $t_2 = 1 :$

\log_2 x = 1 \implies x_2 = 2^1 = 2

Oba rešenja pripadaju domenu $x > 0 ,$ pa su konačna rešenja:

x \in \left\{ \frac{1}{128}, 2 \right\}

2297.Logaritamske jednačine