2298.

Logaritamske jednačine

Određujemo oblast definisanosti jednačine. Osnova logaritma mora biti pozitivna i različita od 1, a argument mora biti pozitivan:

Pojednostavljujemo svaki od sabiraka koristeći osobine logaritama. Prvo, sredimo prvi sabirak:

Sređujemo drugi sabirak:

Sređujemo treći sabirak:

Zamenjujemo dobijene izraze u početnu jednačinu:

Uvodimo smenu $t = \log_7 x .$ Tada je $\log_x 7 = \frac{1}{t} ,$ pa jednačina postaje:

Koristimo identitet $t^2 + \frac{1}{t^2} = \left(t + \frac{1}{t}\right)^2 - 2$ da bismo jednačinu zapisali u obliku:

Uvodimo novu smenu $u = t + \frac{1}{t} .$ Jednačina postaje:

Množimo sa 4 i preuređujemo jednačinu u standardni kvadratni oblik:

Rešavamo kvadratnu jednačinu po $u :$

Dobijamo dva rešenja za $u :$

Vraćamo se na smenu $u = t + \frac{1}{t} .$ Prvi slučaj je $u = \frac{5}{2} :$

Množimo sa $2t$ i rešavamo kvadratnu jednačinu:

Rešenja ove jednačine su:

Vraćamo se na smenu $t = \log_7 x$ da bismo našli $x :$

Drugi slučaj je $u = -\frac{3}{2} :$

Množimo sa $2t$ i dobijamo kvadratnu jednačinu:

Računamo diskriminantu ove jednačine:

Pošto je diskriminanta manja od nule, jednačina nema realnih rešenja za $t .$

Oba dobijena rešenja, $x = 49$ i $x = \sqrt{7} ,$ zadovoljavaju uslove definisanosti ($x > 0, x \neq 1$).