2299. Logaritamske jednačine

Prvo, primetimo da je izraz pod logaritmom $4^x + 16$ uvek pozitivan, pa je domen jednačine skup svih realnih brojeva. Zatim, transformišemo izraz $\frac{2}{\log_5 4}$ koristeći osobinu logaritma $\log_a b = \frac{1}{\log_b a} :$

\frac{2}{\log_5 4} = 2 \log_4 5

Pošto je osnova prvog logaritma 2, prebacićemo i ovaj logaritam na osnovu 2 koristeći pravilo $\log_{a^k} b = \frac{1}{k} \log_a b :$

2 \log_4 5 = 2 \log_{2^2} 5 = 2 \cdot \frac{1}{2} \log_2 5 = \log_2 5

Zamenjujemo dobijeni izraz nazad u početnu jednačinu:

\log_2(4^x + 16) - \log_2 5 = x + 1

Koristimo pravilo za razliku logaritama $\log_a x - \log_a y = \log_a \frac{x}{y} :$

\log_2 \left( \frac{4^x + 16}{5} \right) = x + 1

Prevodimo jednačinu iz logaritamskog u eksponencijalni oblik:

\frac{4^x + 16}{5} = 2^{x+1}

Množimo celu jednačinu sa 5 i primenjujemo pravila za stepenovanje $4^x = (2^2)^x = (2^x)^2$ i $2^{x+1} = 2 \cdot 2^x :$

(2^x)^2 + 16 = 5 \cdot 2 \cdot 2^x

Sređujemo jednačinu tako da sve članove prebacimo na levu stranu:

(2^x)^2 - 10 \cdot 2^x + 16 = 0

Uvodimo smenu $t = 2^x ,$ uz uslov $t > 0 :$

t^2 - 10t + 16 = 0

Rešavamo dobijenu kvadratnu jednačinu:

t_{1,2} = \frac{10 \pm \sqrt{(-10)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 16}}{2} = \frac{10 \pm \sqrt{100 - 64}}{2} = \frac{10 \pm 6}{2}

Dobijamo dva rešenja za $t :$

t_1 = 8, \quad t_2 = 2

Oba rešenja su pozitivna, pa zadovoljavaju uslov $t > 0 .$ Vraćamo smenu za $t_1 = 8 :$

2^x = 8 \implies 2^x = 2^3 \implies x = 3

Vraćamo smenu za $t_2 = 2 :$

2^x = 2 \implies 2^x = 2^1 \implies x = 1

Konačna rešenja jednačine su:

x \in \{1, 3\}

Započni učenje

Online grupni časovi

2299.
Logaritamske jednačine

2299.Logaritamske jednačine

2299.
Logaritamske jednačine