2311. Logaritamske jednačine

Prvo određujemo oblast definisanosti (domen) jednačine. Argument logaritma mora biti strogo pozitivan:

2^x - 4 > 0

Rešavamo eksponencijalnu nejednačinu kako bismo našli uslov za $x :$

2^x > 4 \implies 2^x > 2^2 \implies x > 2

Sada rešavamo polaznu jednačinu primenom definicije logaritma ( $\log_a b = c \iff a^c = b$ ):

2^x - 4 = 2^{5 - x}

Koristimo osobinu stepenovanja $a^{m-n} = \frac{a^m}{a^n}$ da prepišemo desnu stranu jednačine:

2^x - 4 = \frac{2^5}{2^x}

Računamo vrednost $2^5 :$

2^x - 4 = \frac{32}{2^x}

Uvodimo smenu $t = 2^x ,$ pri čemu mora važiti $t > 0 :$

t - 4 = \frac{32}{t}

Množimo celu jednačinu sa $t$ (pošto je $t > 0$ ) i prebacujemo sve članove na levu stranu:

t^2 - 4t = 32 \implies t^2 - 4t - 32 = 0

Rešavamo dobijenu kvadratnu jednačinu po $t :$

t_{1,2} = \frac{-(-4) \pm \sqrt{(-4)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-32)}}{2 \cdot 1}

Računamo vrednost pod korenom:

t_{1,2} = \frac{4 \pm \sqrt{16 + 128}}{2} = \frac{4 \pm \sqrt{144}}{2} = \frac{4 \pm 12}{2}

Nalazimo rešenja za $t :$

t_1 = \frac{16}{2} = 8, \quad t_2 = \frac{-8}{2} = -4

Pošto mora da važi $t > 0 ,$ odbacujemo rešenje $t_2 = -4 .$ Zadržavamo samo $t_1 = 8$ i vraćamo smenu:

2^x = 8

Zapisujemo broj 8 kao stepen osnove 2:

2^x = 2^3 \implies x = 3

Proveravamo da li dobijeno rešenje pripada domenu ( $x > 2$ ). Pošto je $3 > 2 ,$ rešenje je prihvatljivo.

x = 3

2311.Logaritamske jednačine