2312. Logaritamske jednačine

Određujemo oblast definisanosti jednačine. Argumenti logaritma moraju biti strogo pozitivni:

\begin{cases} 3^x - 1 > 0 \\ 3^{x+1} - 3 > 0 \end{cases}

Rešavamo sistem nejednačina:

\begin{cases} 3^x > 1 \\ 3^{x+1} > 3^1 \end{cases} \implies \begin{cases} x > 0 \\ x + 1 > 1 \end{cases} \implies x > 0

Transformišemo drugi logaritam izdvajanjem zajedničkog činioca:

\log_3(3^{x+1} - 3) = \log_3(3 \cdot (3^x - 1))

Primenjujemo pravilo za logaritam proizvoda $\log_a(x \cdot y) = \log_a x + \log_a y :$

\log_3 3 + \log_3(3^x - 1) = 1 + \log_3(3^x - 1)

Zamenjujemo dobijeni izraz u početnu jednačinu:

\log_3(3^x - 1) \cdot (1 + \log_3(3^x - 1)) = 6

Uvodimo smenu $t = \log_3(3^x - 1) :$

t(1 + t) = 6

Sređujemo jednačinu i dobijamo kvadratnu jednačinu:

t^2 + t - 6 = 0

Rešavamo kvadratnu jednačinu:

t_{1,2} = \frac{-1 \pm \sqrt{1^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-6)}}{2} = \frac{-1 \pm 5}{2}

Rešenja kvadratne jednačine su:

t_1 = -3, \quad t_2 = 2

Vraćamo smenu za prvo rešenje $t_1 = -3 :$

\log_3(3^x - 1) = -3

Oslobađamo se logaritma:

3^x - 1 = 3^{-3}

Računamo vrednost stepena i izražavamo $3^x :$

3^x - 1 = \frac{1}{27} \implies 3^x = 1 + \frac{1}{27} = \frac{28}{27}

Logaritmujemo obe strane za osnovu 3 kako bismo našli $x :$

x = \log_3\left(\frac{28}{27}\right) = \log_3 28 - \log_3 27 = \log_3 28 - 3

Vraćamo smenu za drugo rešenje $t_2 = 2 :$

\log_3(3^x - 1) = 2

Oslobađamo se logaritma:

3^x - 1 = 3^2

Izražavamo $3^x :$

3^x - 1 = 9 \implies 3^x = 10

Logaritmujemo obe strane za osnovu 3 kako bismo našli $x :$

x = \log_3 10

Proveravamo da li dobijena rešenja pripadaju oblasti definisanosti $x > 0 .$ Pošto je $\frac{28}{27} > 1$ i $10 > 1 ,$ oba rešenja su pozitivna. Konačna rešenja su:

x \in \{\log_3 28 - 3, \log_3 10\}

Započni učenje

Online grupni časovi

2312.
Logaritamske jednačine

2312.Logaritamske jednačine

2312.
Logaritamske jednačine