2274. Logaritamske jednačine

Prvo određujemo domen jednačine. Logaritamska funkcija je definisana samo za pozitivne vrednosti argumenta.

x > 0 \implies D = (0, +\infty)

Koristimo osobinu logaritma $\log_a \sqrt[n]{x} = \frac{1}{n} \log_a x$ da pojednostavimo drugi član jednačine.

2 \log_2 \sqrt{x} = 2 \log_2 x^{\frac{1}{2}} = 2 \cdot \frac{1}{2} \log_2 x = \log_2 x

Sada polaznu jednačinu možemo zapisati u jednostavnijem obliku.

\log_2^2 x + \log_2 x - 2 = 0

Uvodimo smenu $t = \log_2 x$ kako bismo dobili kvadratnu jednačinu po $t .$

t^2 + t - 2 = 0

Rešavamo kvadratnu jednačinu koristeći formulu za korene kvadratne jednačine.

t_{1,2} = \frac{-1 \pm \sqrt{1^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-2)}}{2 \cdot 1} = \frac{-1 \pm \sqrt{1 + 8}}{2} = \frac{-1 \pm 3}{2}

Dobijamo dve vrednosti za $t .$

t_1 = \frac{-1 + 3}{2} = 1, \quad t_2 = \frac{-1 - 3}{2} = -2

Vraćamo smenu za prvu vrednost $t_1 = 1 .$

\log_2 x = 1 \implies x_1 = 2^1 = 2

Vraćamo smenu za drugu vrednost $t_2 = -2 .$

\log_2 x = -2 \implies x_2 = 2^{-2} = \frac{1}{2^2} = \frac{1}{4}

Proveravamo da li rešenja pripadaju domenu $D = (0, +\infty) .$ Pošto su oba rešenja pozitivna, oba su prihvatljiva.

x \in \left\{ \frac{1}{4}, 2 \right\}

529.v