2344.

Logaritamske jednačine

TEKST ZADATKA

Rešiti jednačinu:

(x+1)lg⁡(x+1)=100(x+1)(x+1)^{\lg(x+1)} = 100(x+1)
REŠENJE ZADATKA

Prvo određujemo domen jednačine. Izraz pod logaritmom i osnova stepena moraju biti veći od nule:

x+1>0  ⟹  x>−1x+1 > 0 \implies x > -1

Logaritmujemo obe strane jednačine sa osnovom 10:

lg⁡((x+1)lg⁡(x+1))=lg⁡(100(x+1))\lg\left((x+1)^{\lg(x+1)}\right) = \lg(100(x+1))

Primenjujemo osobine logaritma lg⁡xs=slg⁡x \lg x^s = s \lg x i lg⁡(xy)=lg⁡x+lg⁡y: \lg(xy) = \lg x + \lg y :

lg⁡(x+1)⋅lg⁡(x+1)=lg⁡100+lg⁡(x+1)\lg(x+1) \cdot \lg(x+1) = \lg 100 + \lg(x+1)

Sređujemo jednačinu znajući da je lg⁡100=2: \lg 100 = 2 :

(lg⁡(x+1))2−lg⁡(x+1)−2=0(\lg(x+1))^2 - \lg(x+1) - 2 = 0

Uvodimo smenu t=lg⁡(x+1): t = \lg(x+1) :

t2−t−2=0t^2 - t - 2 = 0

Rešavamo kvadratnu jednačinu po t: t :

t1,2=1±(−1)2−4⋅1⋅(−2)2=1±32t_{1,2} = \frac{1 \pm \sqrt{(-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-2)}}{2} = \frac{1 \pm 3}{2}

Dobijamo rešenja za t: t :

t1=2,t2=−1t_1 = 2, \quad t_2 = -1

Vraćamo smenu za prvo rešenje:

lg⁡(x+1)=2  ⟹  x+1=102  ⟹  x=99\lg(x+1) = 2 \implies x+1 = 10^2 \implies x = 99

Vraćamo smenu za drugo rešenje:

lg⁡(x+1)=−1  ⟹  x+1=10−1  ⟹  x=−0.9\lg(x+1) = -1 \implies x+1 = 10^{-1} \implies x = -0.9

Proveravamo da li rešenja pripadaju domenu x>−1. x > -1 . Oba rešenja zadovoljavaju uslov, pa je konačno rešenje:

x∈{−0.9,99}x \in \{-0.9, 99\}

Balkan Tutor Sva Prava Zadržana © 2026

Politika privatnosti