2339. Logaritamske jednačine

Određujemo domen jednačine. Zbog logaritma mora važiti:

x > 0

Logaritmujemo obe strane jednačine za osnovu 10:

\lg(x^{2\lg x}) = \lg(10x^2)

Primenjujemo osobine logaritma $\log_a x^s = s \log_a x$ i $\log_a(xy) = \log_a x + \log_a y :$

2\lg x \cdot \lg x = \lg 10 + \lg(x^2)

Sređujemo izraz koristeći $\lg 10 = 1$ i $\lg(x^2) = 2\lg x :$

2(\lg x)^2 = 1 + 2\lg x

Prebacujemo sve članove na levu stranu:

2(\lg x)^2 - 2\lg x - 1 = 0

Uvodimo smenu $t = \lg x :$

2t^2 - 2t - 1 = 0

Rešavamo kvadratnu jednačinu po $t :$

t_{1,2} = \frac{-(-2) \pm \sqrt{(-2)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-1)}}{2 \cdot 2}

Računamo vrednosti za $t :$

t_{1,2} = \frac{2 \pm \sqrt{4 + 8}}{4} = \frac{2 \pm \sqrt{12}}{4} = \frac{2 \pm 2\sqrt{3}}{4} = \frac{1 \pm \sqrt{3}}{2}

Prvo rešenje za $t$ je:

t_1 = \frac{1 + \sqrt{3}}{2}

Drugo rešenje za $t$ je:

t_2 = \frac{1 - \sqrt{3}}{2}

Vraćamo smenu za prvo rešenje:

\lg x_1 = \frac{1 + \sqrt{3}}{2} \implies x_1 = 10^{\frac{1 + \sqrt{3}}{2}}

Vraćamo smenu za drugo rešenje:

\lg x_2 = \frac{1 - \sqrt{3}}{2} \implies x_2 = 10^{\frac{1 - \sqrt{3}}{2}}

Oba rešenja zadovoljavaju uslov $x > 0 ,$ pa su konačna rešenja:

x \in \left\{ 10^{\frac{1 - \sqrt{3}}{2}}, 10^{\frac{1 + \sqrt{3}}{2}} \right\}

2339.Logaritamske jednačine