2340. Logaritamske jednačine

Prvo, određujemo domen jednačine. Argument logaritma mora biti strogo pozitivan.

x > 0

Koristimo osobinu logaritma za stepen osnove: $\log_{a^s} x = \frac{1}{s} \log_a x .$ Primenjujemo ovo na drugi i treći sabirak.

\log_{a^2} x = \frac{1}{2} \log_a x \quad \text{i} \quad \log_{a^4} x = \frac{1}{4} \log_a x

Zamenjujemo dobijene izraze u početnu jednačinu.

\log_a x - \frac{1}{2} \log_a x + \frac{1}{4} \log_a x = \frac{3}{4}

Izvlačimo zajednički faktor $\log_a x$ na levoj strani jednačine.

\log_a x \left( 1 - \frac{1}{2} + \frac{1}{4} \right) = \frac{3}{4}

Računamo vrednost izraza u zagradi svodeći razlomke na zajednički imenilac.

1 - \frac{1}{2} + \frac{1}{4} = \frac{4}{4} - \frac{2}{4} + \frac{1}{4} = \frac{3}{4}

Zamenjujemo izračunatu vrednost nazad u jednačinu.

\frac{3}{4} \log_a x = \frac{3}{4}

Delimo obe strane jednačine sa $\frac{3}{4} .$

\log_a x = 1

Koristimo definiciju logaritma ( $\log_a b = c \iff a^c = b$ ) da bismo izrazili $x .$

x = a^1

Dobijamo konačno rešenje. Pošto je po uslovu zadatka $a > 0 ,$ rešenje zadovoljava početni uslov za domen $x > 0 .$

x = a

540.a