2325.

Logaritamske jednačine

TEKST ZADATKA

Rešiti jednačinu:

log⁡1−2x2x=14−3log⁡2(1−2x2)4\log_{1-2x^2} x = \frac{1}{4} - \frac{3}{\log_2(1-2x^2)^4}
REŠENJE ZADATKA

Prvo određujemo oblast definisanosti (domen) jednačine. Osnova logaritma mora biti pozitivna i različita od 1, a argument logaritma mora biti pozitivan:

1−2x2>0,1−2x2≠1,x>01-2x^2 > 0, \quad 1-2x^2 \neq 1, \quad x > 0

Rešavanjem ovih uslova dobijamo:

x2<12,x≠0,x>0x^2 < \frac{1}{2}, \quad x \neq 0, \quad x > 0

Presek ovih uslova daje domen jednačine:

x∈(0,22)x \in \left(0, \frac{\sqrt{2}}{2}\right)

Koristeći osobinu logaritma log⁡ax2k=2klog⁡a∣x∣, \log_a x^{2k} = 2k \log_a |x| , možemo prepisati izraz u imeniocu. Pošto iz uslova domena već važi 1−2x2>0, 1-2x^2 > 0 , apsolutna vrednost nije potrebna:

log⁡2(1−2x2)4=4log⁡2(1−2x2)\log_2(1-2x^2)^4 = 4 \log_2(1-2x^2)

Zamenom u polaznu jednačinu dobijamo:

log⁡1−2x2x=14−34log⁡2(1−2x2)\log_{1-2x^2} x = \frac{1}{4} - \frac{3}{4 \log_2(1-2x^2)}

Primenjujemo osobinu promene osnove 1log⁡ab=log⁡ba: \frac{1}{\log_a b} = \log_b a :

log⁡1−2x2x=14−34log⁡1−2x22\log_{1-2x^2} x = \frac{1}{4} - \frac{3}{4} \log_{1-2x^2} 2

Množimo celu jednačinu sa 4 kako bismo se oslobodili razlomaka:

4log⁡1−2x2x=1−3log⁡1−2x224 \log_{1-2x^2} x = 1 - 3 \log_{1-2x^2} 2

Prebacujemo logaritme na istu stranu:

4log⁡1−2x2x+3log⁡1−2x22=14 \log_{1-2x^2} x + 3 \log_{1-2x^2} 2 = 1

Primenjujemo osobinu slog⁡ax=log⁡axs: s \log_a x = \log_a x^s :

log⁡1−2x2x4+log⁡1−2x223=1\log_{1-2x^2} x^4 + \log_{1-2x^2} 2^3 = 1

Zbir logaritama sa istom osnovom jednak je logaritmu proizvoda log⁡ax+log⁡ay=log⁡a(xy): \log_a x + \log_a y = \log_a (xy) :

log⁡1−2x2(8x4)=1\log_{1-2x^2} (8x^4) = 1

Po definiciji logaritma, ovo je ekvivalentno sa:

8x4=(1−2x2)18x^4 = (1-2x^2)^1

Sređujemo jednačinu prebacivanjem svih članova na jednu stranu:

8x4+2x2−1=08x^4 + 2x^2 - 1 = 0

Uvodimo smenu t=x2, t = x^2 , pri čemu mora da važi t>0: t > 0 :

8t2+2t−1=08t^2 + 2t - 1 = 0

Rešavamo kvadratnu jednačinu po t: t :

t1,2=−2±22−4⋅8⋅(−1)2⋅8=−2±4+3216=−2±616t_{1,2} = \frac{-2 \pm \sqrt{2^2 - 4 \cdot 8 \cdot (-1)}}{2 \cdot 8} = \frac{-2 \pm \sqrt{4 + 32}}{16} = \frac{-2 \pm 6}{16}

Dobijamo dva rešenja za t: t :

t1=416=14,t2=−816=−12t_1 = \frac{4}{16} = \frac{1}{4}, \quad t_2 = \frac{-8}{16} = -\frac{1}{2}

Pošto mora biti t>0, t > 0 , odbacujemo rešenje t2=−12. t_2 = -\frac{1}{2} . Vraćamo smenu za t1: t_1 :

x2=14x^2 = \frac{1}{4}

Rešavanjem po x x dobijamo:

x=±12x = \pm \frac{1}{2}

Proveravamo da li rešenja pripadaju domenu x∈(0,22). x \in \left(0, \frac{\sqrt{2}}{2}\right) . Zbog uslova x>0, x > 0 , odbacujemo negativno rešenje. Pozitivno rešenje pripada domenu jer je 12<22. \frac{1}{2} < \frac{\sqrt{2}}{2} . Konačno rešenje je:

x=12x = \frac{1}{2}

Balkan Tutor Sva Prava Zadržana © 2026

Politika privatnosti