2323.

Logaritamske jednačine

Faktorišemo polinome u argumentima logaritama:

Zamenjujemo dobijene izraze u početnu jednačinu:

Određujemo uslove definisanosti jednačine. Osnove logaritama moraju biti strogo pozitivne i različite od 1, a argumenti strogo pozitivni:

Rešavamo sistem nejednačina:

Presek ovih uslova daje domen jednačine:

Primenjujemo osobine logaritama na jednačinu. Kako je $x > -\frac{3}{2} ,$ važi $2x+3 > 0 ,$ pa možemo izvući eksponent bez apsolutne vrednosti:

Koristimo osobinu $\log_a a = 1 :$

Uvodimo smenu $t = \log_{3x+7}(2x+3) .$ Tada je $\log_{2x+3}(3x+7) = \frac{1}{t} :$

Sređujemo jednačinu:

Množimo jednačinu sa $t$ (uz uslov $t \neq 0$):

Rešavamo kvadratnu jednačinu po $t :$

Dobijamo dva rešenja za $t :$

Vraćamo smenu za prvi slučaj $t = 1 :$

Po definiciji logaritma dobijamo:

Vraćamo smenu za drugi slučaj $t = \frac{1}{2} :$

Po definiciji logaritma dobijamo:

Kvadriramo obe strane jednačine (što je dozvoljeno jer je $2x+3 > 0$ na domenu):

Sređujemo jednačinu:

Rešavamo kvadratnu jednačinu po $x :$

Dobijamo dva rešenja:

Konačno rešenje jednačine je: