2324. Logaritamske jednačine

Određujemo oblast definisanosti (domen) jednačine. Argumenti logaritama moraju biti pozitivni, a osnove pozitivne i različite od 1:

x > 0, \quad \frac{x}{9} > 0, \quad \frac{x}{9} \neq 1, \quad \frac{9}{x} > 0, \quad \frac{9}{x} \neq 1, \quad 9x^2 > 0, \quad 9x^2 \neq 1

Rešavanjem ovih uslova dobijamo:

x > 0, \quad x \neq 9, \quad x \neq \frac{1}{3}

Prelazimo na logaritme sa osnovom 3 koristeći formulu $\log_a b = \frac{\log_c b}{\log_c a} :$

\log_{x/9} x = \frac{\log_3 x}{\log_3 \frac{x}{9}} = \frac{\log_3 x}{\log_3 x - \log_3 9} = \frac{\log_3 x}{\log_3 x - 2}

Za drugi logaritam primenjujemo ista pravila:

\log_{9/x} x^3 = \frac{\log_3 x^3}{\log_3 \frac{9}{x}} = \frac{3\log_3 x}{\log_3 9 - \log_3 x} = \frac{3\log_3 x}{2 - \log_3 x}

Za treći logaritam imamo:

\log_{9x^2} x^2 = \frac{\log_3 x^2}{\log_3 (9x^2)} = \frac{2\log_3 x}{\log_3 9 + \log_3 x^2} = \frac{2\log_3 x}{2 + 2\log_3 x} = \frac{\log_3 x}{1 + \log_3 x}

Zamenjujemo dobijene izraze u početnu jednačinu:

5 \frac{\log_3 x}{\log_3 x - 2} + \frac{3\log_3 x}{2 - \log_3 x} + 8 \frac{\log_3 x}{1 + \log_3 x} = 2

Uvodimo smenu $t = \log_3 x :$

5 \frac{t}{t - 2} + \frac{3t}{2 - t} + 8 \frac{t}{1 + t} = 2

Sređujemo jednačinu tako što drugi razlomak zapišemo sa imeniocem $t - 2 :$

5 \frac{t}{t - 2} - 3 \frac{t}{t - 2} + 8 \frac{t}{t + 1} = 2

Oduzimamo prva dva razlomka:

2 \frac{t}{t - 2} + 8 \frac{t}{t + 1} = 2

Delimo jednačinu sa 2:

\frac{t}{t - 2} + \frac{4t}{t + 1} = 1

Množimo jednačinu sa $(t - 2)(t + 1) ,$ uz uslov $t \neq 2$ i $t \neq -1 :$

t(t + 1) + 4t(t - 2) = (t - 2)(t + 1)

Množimo izraze u zagradama:

t^2 + t + 4t^2 - 8t = t^2 - t - 2

Prebacujemo sve članove na levu stranu i dobijamo kvadratnu jednačinu:

4t^2 - 6t + 2 = 0

Delimo jednačinu sa 2:

2t^2 - 3t + 1 = 0

Rešavamo kvadratnu jednačinu:

t_{1,2} = \frac{3 \pm \sqrt{(-3)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 1}}{2 \cdot 2} = \frac{3 \pm 1}{4}

Rešenja za $t$ su:

t_1 = 1, \quad t_2 = \frac{1}{2}

Vraćamo smenu za $t_1 = 1 :$

\log_3 x = 1 \implies x = 3^1 = 3

Vraćamo smenu za $t_2 = \frac{1}{2} :$

\log_3 x = \frac{1}{2} \implies x = 3^{\frac{1}{2}} = \sqrt{3}

Proveravamo da li dobijena rešenja pripadaju domenu $x > 0, x \neq 9, x \neq \frac{1}{3} .$ Oba rešenja zadovoljavaju uslove, pa je konačno rešenje:

x \in \{ \sqrt{3}, 3 \}

2324.Logaritamske jednačine