2342.

Logaritamske jednačine

TEKST ZADATKA

Rešiti jednačinu:

log⁡x3+log⁡3x=log⁡x3+log⁡3x+12\log_x 3 + \log_3 x = \log_{\sqrt{x}} 3 + \log_3 \sqrt{x} + \frac{1}{2}
REŠENJE ZADATKA

Određujemo oblast definisanosti (domen) jednačine. Osnova logaritma mora biti pozitivna i različita od 1, a argument logaritma mora biti pozitivan:

x>0ix≠1x > 0 \quad \text{i} \quad x \neq 1

Koristimo osobine logaritama da bismo uprostili izraze na desnoj strani jednačine. Prvo, za izraz log⁡x3 \log_{\sqrt{x}} 3 primenjujemo pravilo log⁡asx=1slog⁡ax: \log_{a^s} x = \frac{1}{s} \log_a x :

log⁡x3=log⁡x123=112log⁡x3=2log⁡x3\log_{\sqrt{x}} 3 = \log_{x^{\frac{1}{2}}} 3 = \frac{1}{\frac{1}{2}} \log_x 3 = 2 \log_x 3

Zatim, za izraz log⁡3x \log_3 \sqrt{x} primenjujemo pravilo log⁡axs=slog⁡ax: \log_a x^s = s \log_a x :

log⁡3x=log⁡3x12=12log⁡3x\log_3 \sqrt{x} = \log_3 x^{\frac{1}{2}} = \frac{1}{2} \log_3 x

Zamenjujemo dobijene izraze nazad u početnu jednačinu:

log⁡x3+log⁡3x=2log⁡x3+12log⁡3x+12\log_x 3 + \log_3 x = 2 \log_x 3 + \frac{1}{2} \log_3 x + \frac{1}{2}

Prebacujemo sve članove na levu stranu i grupišemo ih:

log⁡3x−12log⁡3x+log⁡x3−2log⁡x3−12=0\log_3 x - \frac{1}{2} \log_3 x + \log_x 3 - 2 \log_x 3 - \frac{1}{2} = 0

Sređujemo izraz oduzimanjem odgovarajućih članova:

12log⁡3x−log⁡x3−12=0\frac{1}{2} \log_3 x - \log_x 3 - \frac{1}{2} = 0

Množimo celu jednačinu sa 2 kako bismo se oslobodili razlomaka:

log⁡3x−2log⁡x3−1=0\log_3 x - 2 \log_x 3 - 1 = 0

Koristimo osobinu promene osnove log⁡ab=1log⁡ba \log_a b = \frac{1}{\log_b a} da bismo izrazili log⁡x3 \log_x 3 preko log⁡3x: \log_3 x :

log⁡x3=1log⁡3x\log_x 3 = \frac{1}{\log_3 x}

Uvodimo smenu t=log⁡3x. t = \log_3 x . Jednačina postaje:

t−2t−1=0t - \frac{2}{t} - 1 = 0

Množimo jednačinu sa t t (pošto je x≠1, x \neq 1 , sledi da je t≠0 t \neq 0 ) i dobijamo kvadratnu jednačinu:

t2−t−2=0t^2 - t - 2 = 0

Rešavamo kvadratnu jednačinu faktorisanjem:

(t−2)(t+1)=0  ⟹  t1=2,t2=−1(t - 2)(t + 1) = 0 \implies t_1 = 2, \quad t_2 = -1

Vraćamo smenu za prvo rešenje t1=2: t_1 = 2 :

log⁡3x=2  ⟹  x=32=9\log_3 x = 2 \implies x = 3^2 = 9

Vraćamo smenu za drugo rešenje t2=−1: t_2 = -1 :

log⁡3x=−1  ⟹  x=3−1=13\log_3 x = -1 \implies x = 3^{-1} = \frac{1}{3}

Proveravamo da li dobijena rešenja pripadaju domenu. Oba rešenja, x=9 x = 9 i x=13, x = \frac{1}{3} , zadovoljavaju uslove x>0 x > 0 i x≠1. x \neq 1 . Konačan skup rešenja je:

x∈{13,9}x \in \left\{ \frac{1}{3}, 9 \right\}

Balkan Tutor Sva Prava Zadržana © 2026

Politika privatnosti