2327.

Logaritamske jednačine

Prvo određujemo oblast definisanosti (domen) jednačine. Osnova logaritma mora biti pozitivna i različita od 1, a argument logaritma mora biti pozitivan:

Primenjujemo osobinu logaritma proizvoda $\log_a(xy) = \log_a x + \log_a y$ na prvi činilac:

Znamo da je $\log_x x = 1$ i $125 = 5^3 ,$ pa možemo dalje uprostiti izraz. Koristimo osobinu $\log_a x^s = s \log_a x$ i prelazimo na osnovu 5 pomoću $\log_b a = \frac{1}{\log_a b} :$

Sada transformišemo drugi činilac. Osnova je $25 = 5^2 ,$ pa koristimo osobinu $\log_{a^s} x = \frac{1}{s} \log_a x :$

Kvadriramo dobijeni izraz:

Zamenjujemo transformisane izraze nazad u početnu jednačinu:

Uvodimo smenu $t = \log_5 x .$ Zbog uslova domena $x \neq 1 ,$ važi $t \neq 0 :$

Svodimo izraz u zagradi na zajednički imenilac:

Pošto je $t \neq 0 ,$ možemo skratiti $t$ u brojiocu i imeniocu:

Množimo jednačinu sa 4 i sređujemo je u oblik kvadratne jednačine:

Rešavamo kvadratnu jednačinu po $t :$

Dobijamo dva rešenja za $t :$

Vraćamo smenu za prvo rešenje $t_1 = 1 :$

Vraćamo smenu za drugo rešenje $t_2 = -4 :$

Oba rešenja zadovoljavaju uslove domena ($x > 0$ i $x \neq 1$). Konačan skup rešenja je: