2326.

Logaritamske jednačine

Određujemo uslove definisanosti (domen) jednačine. Osnova logaritma mora biti pozitivna i različita od 1, a argument pozitivan. Iz osnova logaritama u jednačini dobijamo sledeće uslove:

Iz argumenata logaritama imamo dodatne uslove $a > 0$ i $2x > 0 .$ Objedinjavanjem svih uslova i rešavanjem po $x$ i $a$ dobijamo:

Koristimo osobinu logaritma $\log_b a = \frac{1}{\log_a b}$ da transformišemo prvi sabirak u jednačini:

Primenom osobine $\log_b a \cdot \log_a c = \log_b c$ prvi sabirak postaje:

Drugi sabirak transformišemo koristeći osobinu $\log_{a^s} x = \frac{1}{s} \log_a x$ za deo $\log_{1/a} 2x :$

Sada drugi sabirak možemo zapisati kao:

Zamenom dobijenih izraza u početnu jednačinu dobijamo:

Prebacivanjem drugog člana na desnu stranu dobijamo jednakost dva logaritma:

S obzirom da je argument logaritma isti ($2x$) i različit od 1 (jer je $x \neq \frac{1}{2}$), jednakost logaritama važi ako i samo ako su im osnove jednake:

Pošto iz uslova definisanosti znamo da je $a > 0$ i $x > 0 ,$ jednačinu možemo podeliti sa $a\sqrt{x} :$

Sređivanjem izraza dobijamo:

Kvadriranjem obe strane dobijamo rešenje za $x :$

Proveravamo da li rešenje $x = a^2$ zadovoljava uslove definisanosti. Uslovi $x > 0 ,$ $x \neq \frac{1}{a}$ i $x \neq \frac{1}{a^4}$ su ispunjeni za $a > 0$ i $a \neq 1 .$ Uslov $x \neq \frac{1}{2}$ daje dodatno ograničenje za parametar $a :$

Konačno rešenje jednačine je: