2328.

Logaritamske jednačine

TEKST ZADATKA

Rešiti jednačinu: log⁡x4+log⁡x2−log⁡4x=1 \log_x 4 + \log_x 2 - \log_4 \sqrt{x} = 1

REŠENJE ZADATKA

Prvo određujemo oblast definisanosti (domen) jednačine. Osnova logaritma mora biti pozitivna i različita od 1, a argument logaritma mora biti pozitivan.

{x>0x≠1x>0  ⟹  x∈(0,1)∪(1,+∞)\begin{cases} x > 0 \\ x \neq 1 \\ \sqrt{x} > 0 \end{cases} \implies x \in (0, 1) \cup (1, +\infty)

Primenjujemo osobinu sabiranja logaritama sa istom osnovom: log⁡ax+log⁡ay=log⁡a(x⋅y) \log_a x + \log_a y = \log_a (x \cdot y) na prva dva člana.

log⁡x4+log⁡x2=log⁡x(4⋅2)=log⁡x8\log_x 4 + \log_x 2 = \log_x (4 \cdot 2) = \log_x 8

Zapisujemo broj 8 kao stepen broja 2 i primenjujemo osobinu log⁡axs=slog⁡ax. \log_a x^s = s \log_a x .

log⁡x8=log⁡x23=3log⁡x2\log_x 8 = \log_x 2^3 = 3 \log_x 2

Sada transformišemo treći član jednačine. Zapisujemo osnovu 4 kao 22 2^2 i koren kao stepen x12. x^{\frac{1}{2}} .

log⁡4x=log⁡22x12\log_4 \sqrt{x} = \log_{2^2} x^{\frac{1}{2}}

Primenjujemo osobine logaritma za stepen osnove i stepen argumenta: log⁡asx=1slog⁡ax \log_{a^s} x = \frac{1}{s} \log_a x i log⁡axs=slog⁡ax. \log_a x^s = s \log_a x .

log⁡22x12=12⋅12log⁡2x=14log⁡2x\log_{2^2} x^{\frac{1}{2}} = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} \log_2 x = \frac{1}{4} \log_2 x

Zamenjujemo dobijene izraze nazad u početnu jednačinu.

3log⁡x2−14log⁡2x=13 \log_x 2 - \frac{1}{4} \log_2 x = 1

Da bismo sveli sve logaritme na istu osnovu, koristimo osobinu log⁡ba=1log⁡ab. \log_b a = \frac{1}{\log_a b} .

3log⁡2x−14log⁡2x=1\frac{3}{\log_2 x} - \frac{1}{4} \log_2 x = 1

Uvodimo smenu t=log⁡2x. t = \log_2 x .

3t−t4=1\frac{3}{t} - \frac{t}{4} = 1

Množimo celu jednačinu sa 4t 4t (gde je t≠0 t \neq 0 ) kako bismo se oslobodili razlomaka.

12−t2=4t12 - t^2 = 4t

Prebacujemo sve članove na jednu stranu i dobijamo kvadratnu jednačinu.

t2+4t−12=0t^2 + 4t - 12 = 0

Rešavamo kvadratnu jednačinu faktorišući trinom ili koristeći formulu za korene.

(t+6)(t−2)=0(t + 6)(t - 2) = 0

Dobijamo dva rešenja za t. t .

t1=−6,t2=2t_1 = -6, \quad t_2 = 2

Vraćamo smenu t=log⁡2x t = \log_2 x za prvo rešenje i računamo x. x .

log⁡2x=−6  ⟹  x=2−6=164\log_2 x = -6 \implies x = 2^{-6} = \frac{1}{64}

Vraćamo smenu za drugo rešenje i računamo x. x .

log⁡2x=2  ⟹  x=22=4\log_2 x = 2 \implies x = 2^2 = 4

Proveravamo da li dobijena rešenja pripadaju domenu x∈(0,1)∪(1,+∞). x \in (0, 1) \cup (1, +\infty) . Oba rešenja zadovoljavaju uslov, pa su to konačna rešenja jednačine.

x∈{164,4}x \in \left\{ \frac{1}{64}, 4 \right\}

Balkan Tutor Sva Prava Zadržana © 2026

Politika privatnosti