2328. Logaritamske jednačine

Prvo određujemo oblast definisanosti (domen) jednačine. Osnova logaritma mora biti pozitivna i različita od 1, a argument logaritma mora biti pozitivan.

\begin{cases} x > 0 \\ x \neq 1 \\ \sqrt{x} > 0 \end{cases} \implies x \in (0, 1) \cup (1, +\infty)

Primenjujemo osobinu sabiranja logaritama sa istom osnovom: $\log_a x + \log_a y = \log_a (x \cdot y)$ na prva dva člana.

\log_x 4 + \log_x 2 = \log_x (4 \cdot 2) = \log_x 8

Zapisujemo broj 8 kao stepen broja 2 i primenjujemo osobinu $\log_a x^s = s \log_a x .$

\log_x 8 = \log_x 2^3 = 3 \log_x 2

Sada transformišemo treći član jednačine. Zapisujemo osnovu 4 kao $2^2$ i koren kao stepen $x^{\frac{1}{2}} .$

\log_4 \sqrt{x} = \log_{2^2} x^{\frac{1}{2}}

Primenjujemo osobine logaritma za stepen osnove i stepen argumenta: $\log_{a^s} x = \frac{1}{s} \log_a x$ i $\log_a x^s = s \log_a x .$

\log_{2^2} x^{\frac{1}{2}} = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} \log_2 x = \frac{1}{4} \log_2 x

Zamenjujemo dobijene izraze nazad u početnu jednačinu.

3 \log_x 2 - \frac{1}{4} \log_2 x = 1

Da bismo sveli sve logaritme na istu osnovu, koristimo osobinu $\log_b a = \frac{1}{\log_a b} .$

\frac{3}{\log_2 x} - \frac{1}{4} \log_2 x = 1

Uvodimo smenu $t = \log_2 x .$

\frac{3}{t} - \frac{t}{4} = 1

Množimo celu jednačinu sa $4t$ (gde je $t \neq 0$ ) kako bismo se oslobodili razlomaka.

12 - t^2 = 4t

Prebacujemo sve članove na jednu stranu i dobijamo kvadratnu jednačinu.

t^2 + 4t - 12 = 0

Rešavamo kvadratnu jednačinu faktorišući trinom ili koristeći formulu za korene.

(t + 6)(t - 2) = 0

Dobijamo dva rešenja za $t .$

t_1 = -6, \quad t_2 = 2

Vraćamo smenu $t = \log_2 x$ za prvo rešenje i računamo $x .$

\log_2 x = -6 \implies x = 2^{-6} = \frac{1}{64}

Vraćamo smenu za drugo rešenje i računamo $x .$

\log_2 x = 2 \implies x = 2^2 = 4

Proveravamo da li dobijena rešenja pripadaju domenu $x \in (0, 1) \cup (1, +\infty) .$ Oba rešenja zadovoljavaju uslov, pa su to konačna rešenja jednačine.

x \in \left\{ \frac{1}{64}, 4 \right\}

539.i