2338. Logaritamske jednačine

Zbog definisanosti logaritma i osnove stepena, mora važiti uslov:

x > 0

Logaritmujemo obe strane jednačine za osnovu 10 (dekadni logaritam):

\lg(x^{2\lg^2 x}) = \lg(10x^3)

Primenjujemo osobinu logaritma stepena $\log_a x^s = s \log_a x$ na levoj strani:

2\lg^2 x \cdot \lg x = \lg(10x^3)

Množenjem dobijamo:

2\lg^3 x = \lg(10x^3)

Na desnoj strani primenjujemo osobinu logaritma proizvoda $\log_a(xy) = \log_a x + \log_a y :$

2\lg^3 x = \lg 10 + \lg x^3

Znamo da je $\lg 10 = 1$ i primenjujemo osobinu logaritma stepena na $\lg x^3 :$

2\lg^3 x = 1 + 3\lg x

Prebacujemo sve članove na levu stranu jednačine:

2\lg^3 x - 3\lg x - 1 = 0

Uvodimo smenu $t = \lg x :$

2t^3 - 3t - 1 = 0

Rastavljamo dobijeni polinom trećeg stepena na činioce. Primetimo da je $t = -1$ jedno rešenje, pa polinom možemo podeliti sa $(t + 1) :$

\begin{aligned} 2t^3 + 2t^2 - 2t^2 - 2t - t - 1 &= 0 \\ 2t^2(t + 1) - 2t(t + 1) - 1(t + 1) &= 0 \\ (t + 1)(2t^2 - 2t - 1) &= 0 \end{aligned}

Izjednačavamo svaki činilac sa nulom. Prvo rešenje je:

t_1 = -1

Rešavamo preostalu kvadratnu jednačinu $2t^2 - 2t - 1 = 0 :$

t_{2,3} = \frac{2 \pm \sqrt{(-2)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-1)}}{2 \cdot 2} = \frac{2 \pm \sqrt{4 + 8}}{4} = \frac{2 \pm \sqrt{12}}{4}

Pojednostavljujemo rešenja kvadratne jednačine:

t_{2,3} = \frac{2 \pm 2\sqrt{3}}{4} = \frac{1 \pm \sqrt{3}}{2}

Vraćamo smenu za prvo rešenje $t_1 = -1 :$

\lg x = -1 \implies x_1 = 10^{-1} = \frac{1}{10}

Vraćamo smenu za drugo rešenje $t_2 = \frac{1 - \sqrt{3}}{2} :$

\lg x = \frac{1 - \sqrt{3}}{2} \implies x_2 = 10^{\frac{1 - \sqrt{3}}{2}}

Vraćamo smenu za treće rešenje $t_3 = \frac{1 + \sqrt{3}}{2} :$

\lg x = \frac{1 + \sqrt{3}}{2} \implies x_3 = 10^{\frac{1 + \sqrt{3}}{2}}

Sva dobijena rešenja su pozitivna, pa zadovoljavaju početni uslov $x > 0 .$ Konačan skup rešenja je:

x \in \left\{ \frac{1}{10}, 10^{\frac{1 - \sqrt{3}}{2}}, 10^{\frac{1 + \sqrt{3}}{2}} \right\}

2338.Logaritamske jednačine