2337.

Logaritamske jednačine

TEKST ZADATKA

Rešiti jednačinu:

1+log⁡2(x−1)=log⁡(x−1)41 + \log_2(x-1) = \log_{(x-1)} 4
REŠENJE ZADATKA

Prvo određujemo oblast definisanosti (domen) jednačine. Argument logaritma mora biti pozitivan, a osnova logaritma mora biti pozitivna i različita od 1.

{x−1>0x−1≠1\begin{cases} x - 1 > 0 \\ x - 1 \neq 1 \end{cases}

Rešavanjem ovog sistema nejednačina dobijamo uslove za x. x .

{x>1x≠2\begin{cases} x > 1 \\ x \neq 2 \end{cases}

Domen jednačine je:

x∈(1,2)∪(2,+∞)x \in (1, 2) \cup (2, +\infty)

Transformišemo desnu stranu jednačine koristeći osobinu log⁡axs=slog⁡ax. \log_a x^s = s \log_a x .

log⁡(x−1)4=log⁡(x−1)22=2log⁡(x−1)2\log_{(x-1)} 4 = \log_{(x-1)} 2^2 = 2 \log_{(x-1)} 2

Primenjujemo osobinu promene osnove logaritma log⁡ab=1log⁡ba. \log_a b = \frac{1}{\log_b a} .

2log⁡(x−1)2=2log⁡2(x−1)2 \log_{(x-1)} 2 = \frac{2}{\log_2(x-1)}

Zamenjujemo transformisani izraz nazad u početnu jednačinu.

1+log⁡2(x−1)=2log⁡2(x−1)1 + \log_2(x-1) = \frac{2}{\log_2(x-1)}

Uvodimo smenu kako bismo uprostili jednačinu.

t=log⁡2(x−1)t = \log_2(x-1)

Jednačina sada postaje:

1+t=2t1 + t = \frac{2}{t}

Množimo celu jednačinu sa t t (pošto x≠2, x \neq 2 , važi t≠0 t \neq 0 ) i prebacujemo sve članove na levu stranu.

t2+t−2=0t^2 + t - 2 = 0

Rešavamo dobijenu kvadratnu jednačinu.

t1,2=−1±12−4⋅1⋅(−2)2=−1±92=−1±32t_{1,2} = \frac{-1 \pm \sqrt{1^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-2)}}{2} = \frac{-1 \pm \sqrt{9}}{2} = \frac{-1 \pm 3}{2}

Dobijamo dva rešenja za t. t .

t1=1,t2=−2t_1 = 1, \quad t_2 = -2

Vraćamo smenu za prvo rešenje t1=1. t_1 = 1 .

log⁡2(x−1)=1  ⟹  x−1=21  ⟹  x=3\log_2(x-1) = 1 \implies x - 1 = 2^1 \implies x = 3

Vraćamo smenu za drugo rešenje t2=−2. t_2 = -2 .

log⁡2(x−1)=−2  ⟹  x−1=2−2  ⟹  x−1=14  ⟹  x=54\log_2(x-1) = -2 \implies x - 1 = 2^{-2} \implies x - 1 = \frac{1}{4} \implies x = \frac{5}{4}

Proveravamo da li dobijena rešenja pripadaju domenu x∈(1,2)∪(2,+∞). x \in (1, 2) \cup (2, +\infty) . Oba rešenja ispunjavaju uslov.

x1=3∈D,x2=54∈Dx_1 = 3 \in D, \quad x_2 = \frac{5}{4} \in D

Konačan skup rešenja jednačine je:

x∈{54,3}x \in \left\{ \frac{5}{4}, 3 \right\}

Balkan Tutor Sva Prava Zadržana © 2026

Politika privatnosti