538.i

Prvo određujemo uslove pod kojima je jednačina definisana. Osnova logaritma mora biti pozitivna i različita od 1, a argument mora biti pozitivan.

Koristimo osobinu logaritma za promenu osnove $\log_a b = \frac{1}{\log_b a}$ da bismo sve logaritme sveli na istu osnovu.

Zamenjujemo dobijeni izraz u polaznu jednačinu:

Logaritmujemo obe strane jednačine za osnovu 3:

Primenjujemo osobinu logaritma proizvoda $\log_a(xy) = \log_a x + \log_a y$ i činjenicu da je $\log_3 9 = 2 :$

Primenjujemo osobinu $\log_a x^s = s \log_a x$ na oba sabirka:

S obzirom da je $\log_3 3 = 1 ,$ jednačina postaje:

Uvodimo smenu $t = \log_3 x .$ Pošto je $x \neq 1 ,$ sledi da je $t \neq 0 .$

Množimo jednačinu sa $t$ i prebacujemo sve članove na jednu stranu kako bismo dobili polinom trećeg stepena:

Faktorišemo dobijeni polinom. Možemo ga zapisati kao $t^3 - t - t + 1 = 0$ i grupisati članove:

Primenjujemo razliku kvadrata i izvlačimo zajednički faktor $(t - 1) :$

Izjednačavamo svaki od faktora sa nulom. Prvo rešenje dobijamo iz linearne jednačine:

Druga dva rešenja dobijamo rešavanjem kvadratne jednačine $t^2 + t - 1 = 0 :$

Vraćamo se na smenu $\log_3 x = t$ da bismo našli $x .$ Za $t_1 = 1 :$

Za preostala dva rešenja $t_{2,3} :$

Proveravamo uslove definisanosti. Sva tri rešenja su pozitivna i različita od 1, pa su sva rešenja prihvatljiva. Konačan skup rešenja je: