2336. Logaritamske jednačine

Prvo određujemo uslove pod kojima je jednačina definisana. Osnova logaritma mora biti pozitivna i različita od 1, a argument mora biti pozitivan.

x > 0 \quad \text{i} \quad x \neq 1

Koristimo osobinu logaritma za promenu osnove $\log_a b = \frac{1}{\log_b a}$ da bismo sve logaritme sveli na istu osnovu.

\log_x 3 = \frac{1}{\log_3 x}

Zamenjujemo dobijeni izraz u polaznu jednačinu:

3^{\frac{1}{\log_3 x}} \cdot x^{\log_3 x} = 9

Logaritmujemo obe strane jednačine za osnovu 3:

\log_3 \left( 3^{\frac{1}{\log_3 x}} \cdot x^{\log_3 x} \right) = \log_3 9

Primenjujemo osobinu logaritma proizvoda $\log_a(xy) = \log_a x + \log_a y$ i činjenicu da je $\log_3 9 = 2 :$

\log_3 \left( 3^{\frac{1}{\log_3 x}} \right) + \log_3 \left( x^{\log_3 x} \right) = 2

Primenjujemo osobinu $\log_a x^s = s \log_a x$ na oba sabirka:

\frac{1}{\log_3 x} \cdot \log_3 3 + \log_3 x \cdot \log_3 x = 2

S obzirom da je $\log_3 3 = 1 ,$ jednačina postaje:

\frac{1}{\log_3 x} + (\log_3 x)^2 = 2

Uvodimo smenu $t = \log_3 x .$ Pošto je $x \neq 1 ,$ sledi da je $t \neq 0 .$

\frac{1}{t} + t^2 = 2

Množimo jednačinu sa $t$ i prebacujemo sve članove na jednu stranu kako bismo dobili polinom trećeg stepena:

t^3 - 2t + 1 = 0

Faktorišemo dobijeni polinom. Možemo ga zapisati kao $t^3 - t - t + 1 = 0$ i grupisati članove:

t(t^2 - 1) - (t - 1) = 0

Primenjujemo razliku kvadrata i izvlačimo zajednički faktor $(t - 1) :$

(t - 1)(t(t + 1) - 1) = 0 \implies (t - 1)(t^2 + t - 1) = 0

Izjednačavamo svaki od faktora sa nulom. Prvo rešenje dobijamo iz linearne jednačine:

t - 1 = 0 \implies t_1 = 1

Druga dva rešenja dobijamo rešavanjem kvadratne jednačine $t^2 + t - 1 = 0 :$

t_{2,3} = \frac{-1 \pm \sqrt{1^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-1)}}{2} = \frac{-1 \pm \sqrt{5}}{2}

Vraćamo se na smenu $\log_3 x = t$ da bismo našli $x .$ Za $t_1 = 1 :$

\log_3 x = 1 \implies x_1 = 3^1 = 3

Za preostala dva rešenja $t_{2,3} :$

x_2 = 3^{\frac{-1 + \sqrt{5}}{2}}, \quad x_3 = 3^{\frac{-1 - \sqrt{5}}{2}}

Proveravamo uslove definisanosti. Sva tri rešenja su pozitivna i različita od 1, pa su sva rešenja prihvatljiva. Konačan skup rešenja je:

x \in \left\{ 3, 3^{\frac{-1 + \sqrt{5}}{2}}, 3^{\frac{-1 - \sqrt{5}}{2}} \right\}

2336.Logaritamske jednačine