2294. Logaritamske jednačine

Prvo određujemo domen jednačine. Argument logaritma mora biti strogo pozitivan.

x > 0

Svodimo sve logaritme na istu osnovu $5 .$ Koristimo pravilo za promenu osnove $\log_{a^n} b = \frac{1}{n} \log_a b$ i $\log_{1/a} b = -\log_a b .$

\begin{aligned} \log_{25} x &= \log_{5^2} x = \frac{1}{2} \log_5 x \\ \log_{1/5} \sqrt{3} &= \log_{5^{-1}} 3^{1/2} = -\frac{1}{2} \log_5 3 \end{aligned}

Zamenjujemo transformisane izraze u početnu jednačinu.

\log_5 x + \frac{1}{2} \log_5 x = -\frac{1}{2} \log_5 3

Sabiramo logaritme na levoj strani jednačine.

\left(1 + \frac{1}{2}\right) \log_5 x = -\frac{1}{2} \log_5 3 \implies \frac{3}{2} \log_5 x = -\frac{1}{2} \log_5 3

Množimo celu jednačinu sa $2$ kako bismo uklonili razlomke, a zatim koristimo pravilo $n \log_a b = \log_a b^n .$

3 \log_5 x = -\log_5 3 \implies \log_5 x^3 = \log_5 3^{-1}

Pošto su osnove logaritama iste, izjednačavamo njihove argumente.

x^3 = 3^{-1} \implies x^3 = \frac{1}{3}

Računamo vrednost nepoznate $x .$

x = \sqrt[3]{\frac{1}{3}} = \frac{1}{\sqrt[3]{3}}

Proveravamo da li rešenje pripada domenu $x > 0 .$ Kako je dobijena vrednost pozitivna, rešenje je validno.

x = \frac{1}{\sqrt[3]{3}}

532.v