Logaritamska jednačina: osnove 5, koren 5 i 0,2

Prvo određujemo domen jednačine. Argumenti svih logaritama moraju biti strogo veći od nule:

\begin{cases} x - 2 > 0 \\ x^3 - 2 > 0 \end{cases}

Iz prve nejednačine dobijamo $x > 2 .$ Kako je $2^3 - 2 = 6 > 0 ,$ uslov $x > 2$ automatski zadovoljava i drugu nejednačinu. Dakle, domen je:

x \in (2, +\infty)

Svodimo sve logaritme na istu osnovu $5 .$ Koristimo pravila $\log_{\sqrt{5}} a = \log_{5^{1/2}} a = 2\log_5 a$ i $\log_{0,2} a = \log_{5^{-1}} a = -\log_5 a :$

\log_5(x - 2) + 2\log_5(x^3 - 2) - \log_5(x - 2) = 4

Sređujemo jednačinu poništavanjem članova $\log_5(x - 2)$ i $-\log_5(x - 2) :$

2\log_5(x^3 - 2) = 4

Delimo celu jednačinu sa 2:

\log_5(x^3 - 2) = 2

Primenjujemo definiciju logaritma:

x^3 - 2 = 5^2

Računamo vrednost $x :$

x^3 - 2 = 25 \implies x^3 = 27 \implies x = \sqrt[3]{27}

Konačno rešenje je:

x = 3

Proveravamo da li rešenje pripada domenu $(2, +\infty) .$ Pošto je $3 > 2 ,$ rešenje je validno.

x = 3 \in (2, +\infty)

Započni učenje

Online časovi

532.g

Beleške