2293. Logaritamske jednačine

Prvo definišemo uslov za postojanje logaritma. Argument logaritma mora biti strogo veći od nule.

x > 0

Koristimo osobinu logaritma za promenu osnove: $\log_{a^n} x = \frac{1}{n} \log_a x .$ Primenjujemo ovo pravilo na drugi i treći sabirak.

\log_{a^2} x = \frac{1}{2} \log_a x \\ \log_{a^3} x = \frac{1}{3} \log_a x

Zamenjujemo transformisane izraze u početnu jednačinu.

\log_a x + \frac{1}{2} \log_a x + \frac{1}{3} \log_a x = 11

Izvlačimo zajednički faktor $\log_a x$ ispred zagrade.

\log_a x \left( 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} \right) = 11

Sabiramo razlomke u zagradi nalaženjem najmanjeg zajedničkog sadržaoca.

\log_a x \left( \frac{6 + 3 + 2}{6} \right) = 11 \\ \log_a x \cdot \frac{11}{6} = 11

Delimo obe strane jednačine sa $\frac{11}{6}$ kako bismo izolovali logaritam.

\log_a x = 11 \cdot \frac{6}{11} \\ \log_a x = 6

Na osnovu definicije logaritma $\log_a x = b \iff x = a^b ,$ računamo vrednost $x .$

x = a^6

Proveravamo uslov $x > 0 .$ Pošto je dato da je $a > 0$ i $a \neq 1 ,$ sledi da je $a^6$ uvek pozitivno, pa je rešenje validno.

x = a^6

2293.Logaritamske jednačine