2391. Logaritamske nejednačine

Određujemo domen nejednačine. Argumenti logaritma moraju biti strogo veći od nule:

\begin{cases} 1 - x > 0 \\ x + 2 > 0 \end{cases} \implies \begin{cases} x < 1 \\ x > -2 \end{cases}

Domen nejednačine je:

x \in (-2, 1)

Transformišemo desnu stranu nejednačine koristeći osobinu $\log_{a^k}b = \frac{1}{k}\log_ab :$

\log_{1/3}(x + 2) = \log_{3^{-1}}(x + 2) = -\log_3(x + 2)

Zamenjujemo dobijeni izraz u početnu nejednačinu:

\log_3(1 - x) < -\log_3(x + 2)

Prebacujemo logaritam sa desne na levu stranu:

\log_3(1 - x) + \log_3(x + 2) < 0

Primenjujemo pravilo za zbir logaritama $\log_a x + \log_a y = \log_a(x \cdot y) :$

\log_3((1 - x)(x + 2)) < 0

Pošto je osnova logaritma veća od 1 ( $3 > 1$ ), funkcija je rastuća i znak nejednakosti se ne menja kada se oslobodimo logaritma:

(1 - x)(x + 2) < 3^0

Sređujemo dobijenu nejednačinu:

x + 2 - x^2 - 2x < 1

Prebacujemo sve na jednu stranu i množimo sa $-1 :$

x^2 + x - 1 > 0

Nalazimo korene odgovarajuće kvadratne jednačine $x^2 + x - 1 = 0 :$

x_{1,2} = \frac{-1 \pm \sqrt{1^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-1)}}{2} = \frac{-1 \pm \sqrt{5}}{2}

Rešenje kvadratne nejednačine $x^2 + x - 1 > 0$ je:

x \in \left(-\infty, \frac{-1 - \sqrt{5}}{2}\right) \cup \left(\frac{-1 + \sqrt{5}}{2}, +\infty\right)

Konačno rešenje dobijamo u preseku sa domenom $x \in (-2, 1) .$ Upoređujemo vrednosti granica:

-2 < \frac{-1 - \sqrt{5}}{2} \quad \text{i} \quad \frac{-1 + \sqrt{5}}{2} < 1

Presek daje konačno rešenje:

x \in \left(-2, \frac{-1 - \sqrt{5}}{2}\right) \cup \left(\frac{-1 + \sqrt{5}}{2}, 1\right)

2391.Logaritamske nejednačine