4397. Linearne jednačine

TEKST ZADATKA

Rešiti jednačinu: $||x| - 1| + ||x| + 2| = 3 .$

REŠENJE ZADATKA

Definišimo apsolutnu vrednost za izraz $x :$

|x| = \begin{cases} x, & \text{za } x \ge 0 \\ -x, & \text{za } x < 0 \end{cases}

Pošto je apsolutna vrednost uvek nenegativna ( $|x| \ge 0$ ), izraz $|x| + 2$ je uvek pozitivan. Definišimo apsolutnu vrednost za ovaj izraz:

||x| + 2| = \begin{cases} |x| + 2, & \text{za } |x| + 2 \ge 0 \\ -(|x| + 2), & \text{za } |x| + 2 < 0 \end{cases}

Kako je $|x| + 2 \ge 2 > 0 ,$ važi $||x| + 2| = |x| + 2 .$ Zamenom u početnu jednačinu dobijamo:

||x| - 1| + |x| + 2 = 3

Sređivanjem jednačine dobijamo:

||x| - 1| + |x| = 1

Definišimo apsolutnu vrednost za izraz $|x| - 1 :$

||x| - 1| = \begin{cases} |x| - 1, & \text{za } |x| - 1 \ge 0 \\ -(|x| - 1), & \text{za } |x| - 1 < 0 \end{cases}

Razmotrimo prvi slučaj kada je $|x| - 1 \ge 0 ,$ odnosno $|x| \ge 1 .$ Jednačina postaje:

|x| - 1 + |x| = 1

Rešavanjem ove jednačine dobijamo:

2|x| = 2 \implies |x| = 1

Ovo rešenje zadovoljava uslov $|x| \ge 1 .$

Razmotrimo drugi slučaj kada je $|x| - 1 < 0 ,$ odnosno $|x| < 1 .$ Pošto je $|x| \ge 0 ,$ posmatramo interval $0 \le |x| < 1 .$ Jednačina postaje:

-(|x| - 1) + |x| = 1

Sređivanjem dobijamo:

1 - |x| + |x| = 1 \implies 1 = 1

Dobili smo tačnu jednakost, što znači da su svi brojevi koji zadovoljavaju uslov $0 \le |x| < 1$ rešenja jednačine.

Unija rešenja iz oba slučaja daje ukupan uslov za $|x| :$

0 \le |x| \le 1

Nejednakost $|x| \ge 0$ je uvek tačna. Rešavamo nejednačinu $|x| \le 1 .$ Koristeći definiciju apsolutne vrednosti za $x ,$ dobijamo:

-1 \le x \le 1

Konačno rešenje jednačine možemo zapisati kao interval:

x \in [-1, 1]

692.i