4389. Linearne jednačine

TEKST ZADATKA

Rešiti jednačine ( $a, b, c \in \mathbf{R}$ ) (zadaci 688-692):

(a^2 - 4a + 3)x = a^2 - a - 6

REŠENJE ZADATKA

Faktorišemo kvadratne trinome sa obe strane jednačine. Za levu stranu tražimo korene izraza $a^2 - 4a + 3 .$

a_{1,2} = \frac{4 \pm \sqrt{(-4)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 3}}{2} = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 12}}{2} = \frac{4 \pm 2}{2} \implies a_1 = 3, a_2 = 1

Zapisujemo levu stranu u faktorisanom obliku.

a^2 - 4a + 3 = (a-1)(a-3)

Sada faktorišemo desnu stranu jednačine, odnosno izraz $a^2 - a - 6 .$

a_{1,2} = \frac{1 \pm \sqrt{(-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-6)}}{2} = \frac{1 \pm \sqrt{1 + 24}}{2} = \frac{1 \pm 5}{2} \implies a_1 = 3, a_2 = -2

Zapisujemo desnu stranu u faktorisanom obliku.

a^2 - a - 6 = (a-3)(a+2)

Zamenjujemo faktorisane izraze u početnu jednačinu.

(a-1)(a-3)x = (a-3)(a+2)

Sada analiziramo rešenja u zavisnosti od vrednosti parametra $a .$ Prvi slučaj je kada je koeficijent uz $x$ različit od nule, odnosno $(a-1)(a-3) \neq 0 .$

a \neq 1 \quad \text{i} \quad a \neq 3

U ovom slučaju možemo podeliti obe strane jednačine sa $(a-1)(a-3) .$

x = \frac{(a-3)(a+2)}{(a-1)(a-3)} = \frac{a+2}{a-1}

Drugi slučaj je kada je $a = 1 .$ Zamenjujemo ovu vrednost u jednačinu.

(1-1)(1-3)x = (1-3)(1+2) \implies 0 \cdot (-2) \cdot x = (-2) \cdot 3 \implies 0 \cdot x = -6

Kako množenje nulom uvek daje nulu, dobijamo nemoguću jednakost. Dakle, za $a = 1$ jednačina nema rešenja.

x \in \emptyset

Treći slučaj je kada je $a = 3 .$ Zamenjujemo ovu vrednost u jednačinu.

(3-1)(3-3)x = (3-3)(3+2) \implies 2 \cdot 0 \cdot x = 0 \cdot 5 \implies 0 \cdot x = 0

Ova jednakost je tačna za svaki realan broj $x .$ Dakle, za $a = 3$ jednačina ima beskonačno mnogo rešenja.

x \in \mathbf{R}

Zapisujemo konačan zaključak za sva tri slučaja.

x = \begin{cases} \frac{a+2}{a-1}, & a \neq 1 \land a \neq 3 \\ \emptyset, & a = 1 \\ \mathbf{R}, & a = 3 \end{cases}

688.a