4383. Linearne jednačine

TEKST ZADATKA

Rešiti jednačinu u zavisnosti od realnog parametra $b :$

(b^2 + b - 2)x = b^2 - 4b + 3

REŠENJE ZADATKA

Da bismo rešili jednačinu po $x ,$ prvo ćemo faktorisati kvadratne trinome uz $x$ i na desnoj strani jednačine.

Faktorišemo izraz uz $x ,$ odnosno $b^2 + b - 2 .$ Rešavanjem kvadratne jednačine $b^2 + b - 2 = 0$ dobijamo korene $b_1 = 1$ i $b_2 = -2 ,$ pa se trinom može zapisati kao:

b^2 + b - 2 = (b - 1)(b + 2)

Zatim faktorišemo izraz na desnoj strani, $b^2 - 4b + 3 .$ Rešavanjem kvadratne jednačine $b^2 - 4b + 3 = 0$ dobijamo korene $b_1 = 1$ i $b_2 = 3 ,$ pa se trinom može zapisati kao:

b^2 - 4b + 3 = (b - 1)(b - 3)

Zamenjujemo dobijene faktorizovane oblike u početnu jednačinu:

(b - 1)(b + 2)x = (b - 1)(b - 3)

Sada analiziramo rešenja u zavisnosti od vrednosti parametra $b .$ Prvi slučaj je kada je koeficijent uz $x$ različit od nule, odnosno $(b - 1)(b + 2) \neq 0 ,$ što znači da je $b \neq 1$ i $b \neq -2 .$ Tada jednačina ima jedinstveno rešenje:

x = \frac{(b - 1)(b - 3)}{(b - 1)(b + 2)} = \frac{b - 3}{b + 2}

Drugi slučaj je kada je $b = 1 .$ Zamenom ove vrednosti u faktorizovanu jednačinu dobijamo:

(1 - 1)(1 + 2)x = (1 - 1)(1 - 3) \implies 0 \cdot x = 0

U ovom slučaju, jednačina je tačna za svako realno $x ,$ pa je rešenje:

x \in \mathbf{R}

Treći slučaj je kada je $b = -2 .$ Zamenom ove vrednosti u faktorizovanu jednačinu dobijamo:

(-2 - 1)(-2 + 2)x = (-2 - 1)(-2 - 3) \implies 0 \cdot x = 15

Pošto ne postoji broj koji pomnožen sa nulom daje 15, u ovom slučaju jednačina nema rešenja:

x \in \emptyset

Konačno, možemo sumirati sva rešenja u zavisnosti od parametra $b :$

x = \begin{cases} \frac{b - 3}{b + 2}, & b \in \mathbf{R} \setminus \{-2, 1\} \\ \mathbf{R}, & b = 1 \\ \emptyset, & b = -2 \end{cases}

688.b