4383.

688.b

TEKST ZADATKA

Rešiti jednačinu u zavisnosti od realnog parametra b: b :

(b2+b−2)x=b2−4b+3(b^2 + b - 2)x = b^2 - 4b + 3
REŠENJE ZADATKA

Da bismo rešili jednačinu po x, x , prvo ćemo faktorisati kvadratne trinome uz x x i na desnoj strani jednačine.

Faktorišemo izraz uz x, x , odnosno b2+b−2. b^2 + b - 2 . Rešavanjem kvadratne jednačine b2+b−2=0 b^2 + b - 2 = 0 dobijamo korene b1=1 b_1 = 1 i b2=−2, b_2 = -2 , pa se trinom može zapisati kao:

b2+b−2=(b−1)(b+2)b^2 + b - 2 = (b - 1)(b + 2)

Zatim faktorišemo izraz na desnoj strani, b2−4b+3. b^2 - 4b + 3 . Rešavanjem kvadratne jednačine b2−4b+3=0 b^2 - 4b + 3 = 0 dobijamo korene b1=1 b_1 = 1 i b2=3, b_2 = 3 , pa se trinom može zapisati kao:

b2−4b+3=(b−1)(b−3)b^2 - 4b + 3 = (b - 1)(b - 3)

Zamenjujemo dobijene faktorizovane oblike u početnu jednačinu:

(b−1)(b+2)x=(b−1)(b−3)(b - 1)(b + 2)x = (b - 1)(b - 3)

Sada analiziramo rešenja u zavisnosti od vrednosti parametra b. b . Prvi slučaj je kada je koeficijent uz x x različit od nule, odnosno (b−1)(b+2)≠0, (b - 1)(b + 2) \neq 0 , što znači da je b≠1 b \neq 1 i b≠−2. b \neq -2 . Tada jednačina ima jedinstveno rešenje:

x=(b−1)(b−3)(b−1)(b+2)=b−3b+2x = \frac{(b - 1)(b - 3)}{(b - 1)(b + 2)} = \frac{b - 3}{b + 2}

Drugi slučaj je kada je b=1. b = 1 . Zamenom ove vrednosti u faktorizovanu jednačinu dobijamo:

(1−1)(1+2)x=(1−1)(1−3)  ⟹  0⋅x=0(1 - 1)(1 + 2)x = (1 - 1)(1 - 3) \implies 0 \cdot x = 0

U ovom slučaju, jednačina je tačna za svako realno x, x , pa je rešenje:

x∈Rx \in \mathbf{R}

Treći slučaj je kada je b=−2. b = -2 . Zamenom ove vrednosti u faktorizovanu jednačinu dobijamo:

(−2−1)(−2+2)x=(−2−1)(−2−3)  ⟹  0⋅x=15(-2 - 1)(-2 + 2)x = (-2 - 1)(-2 - 3) \implies 0 \cdot x = 15

Pošto ne postoji broj koji pomnožen sa nulom daje 15, u ovom slučaju jednačina nema rešenja:

x∈∅x \in \emptyset

Konačno, možemo sumirati sva rešenja u zavisnosti od parametra b: b :

x={b−3b+2,b∈R∖{−2,1}R,b=1∅,b=−2x = \begin{cases} \frac{b - 3}{b + 2}, & b \in \mathbf{R} \setminus \{-2, 1\} \\ \mathbf{R}, & b = 1 \\ \emptyset, & b = -2 \end{cases}