1658. Kvadratna funkcija

REŠENJE ZADATKA

Definišemo funkciju sa apsolutnom vrednošću:

|x^2 + x| = \begin{cases} x^2 + x, & \text{za } x^2 + x \ge 0 \\ -(x^2 + x), & \text{za } x^2 + x < 0 \end{cases}

Posmatrajmo prvo kvadratnu funkciju bez apsolutne vrednosti:

f(x) = x^2 + x

Određujemo nule funkcije izjednačavanjem sa nulom:

x^2 + x = 0 \implies x(x + 1) = 0

Rešenja ove jednačine su nule funkcije:

x_1 = -1, \quad x_2 = 0

Računamo koordinate temena parabole $T(x_T, y_T) .$ Za funkciju oblika $ax^2 + bx + c$ x-koordinata temena je $x_T = -\frac{b}{2a} :$

x_T = -\frac{1}{2 \cdot 1} = -\frac{1}{2}

Zamenom $x_T$ u funkciju računamo y-koordinatu temena:

y_T = \left(-\frac{1}{2}\right)^2 + \left(-\frac{1}{2}\right) = \frac{1}{4} - \frac{1}{2} = -\frac{1}{4}

Teme parabole $f(x) = x^2 + x$ je u tački:

T\left(-\frac{1}{2}, -\frac{1}{4}\right)

Pošto je koeficijent uz $x^2$ pozitivan ( $a = 1 > 0$ ), parabola je okrenuta otvorom nagore. Određujemo znak funkcije:

x \in (-\infty, -1)

x \in (-1, 0)

x \in (0, +\infty)

x^2 + x

+

-

+

Na osnovu znaka funkcije, za $x \in (-\infty, -1] \cup [0, +\infty)$ važi $x^2 + x \ge 0 ,$ pa se grafik funkcije $y = |x^2 + x|$ poklapa sa grafikom funkcije $y = x^2 + x .$

y = x^2 + x, \quad x \in (-\infty, -1] \cup [0, +\infty)

Za $x \in (-1, 0)$ važi $x^2 + x < 0 ,$ pa se deo grafika koji je ispod x-ose preslikava simetrično u odnosu na x-osu. Funkcija na tom intervalu postaje:

y = -x^2 - x, \quad x \in (-1, 0)

Teme parabole koje je bilo ispod x-ose u tački $T\left(-\frac{1}{2}, -\frac{1}{4}\right)$ se preslikava u lokalni maksimum nove funkcije:

T'\left(-\frac{1}{2}, \frac{1}{4}\right)

Konačan grafik se dobija tako što se nacrta parabola $y = x^2 + x ,$ a zatim se njen deo između nula $x = -1$ i $x = 0$ (koji se nalazi ispod x-ose) preslika osno simetrično iznad x-ose.

268.b