Grafik funkcije y = |−x na 2 + x| − x

Da bismo skicirali grafik funkcije, prvo moramo da se oslobodimo apsolutne vrednosti. Definišemo izraz pod apsolutnom vrednošću prema definiciji.

Definicija apsolutne vrednosti za dati izraz je:

|-x^2 + x| = \begin{cases} -x^2 + x, & \text{za } -x^2 + x \ge 0 \\ -(-x^2 + x), & \text{za } -x^2 + x < 0 \end{cases}

Određujemo znak kvadratnog trinoma $-x^2 + x .$ Nule ovog trinoma dobijamo rešavanjem jednačine $-x^2 + x = 0 ,$ odakle sledi $x(1 - x) = 0 ,$ pa su nule $x_1 = 0$ i $x_2 = 1 .$ Pošto je koeficijent uz $x^2$ negativan ( $a = -1$ ), parabola je okrenuta nadole.

x \in (-\infty, 0)

x \in (0, 1)

x \in (1, +\infty)

-x^2 + x

-

+

-

Na osnovu analize znaka, funkciju delimo na dva slučaja i računamo njen oblik za svaki od njih.

Prvi slučaj: za $x \in [0, 1] ,$ izraz pod apsolutnom vrednošću je nenegativan, pa apsolutna zagrada ostaje nepromenjena.

y = (-x^2 + x) - x = -x^2

Na intervalu $[0, 1] ,$ grafik je deo parabole $y = -x^2 .$ Teme ove parabole je u tački $(0, 0) ,$ a za $x = 1$ vrednost funkcije je $y = -1 .$

Drugi slučaj: za $x \in (-\infty, 0) \cup (1, +\infty) ,$ izraz pod apsolutnom vrednošću je negativan, pa menja znak pri oslobađanju od apsolutne vrednosti.

y = -(-x^2 + x) - x = x^2 - x - x = x^2 - 2x

Na intervalima $(-\infty, 0)$ i $(1, +\infty) ,$ grafik je deo parabole $y = x^2 - 2x .$ Određujemo njene karakteristične tačke.

Nule ove parabole su rešenja jednačine $x^2 - 2x = 0 ,$ odnosno $x(x - 2) = 0 ,$ pa su to $x_1 = 0$ i $x_2 = 2 .$ Teme parabole računamo po formuli $x_T = -\frac{b}{2a} .$

x_T = -\frac{-2}{2 \cdot 1} = 1 \implies y_T = 1^2 - 2 \cdot 1 = -1

Teme parabole je u tački $T(1, -1) .$ Primetimo da se ova tačka poklapa sa krajem prvog slučaja, što znači da je funkcija neprekidna.

Konačan grafik funkcije se sastoji iz dela parabole $y = -x^2$ na intervalu $[0, 1]$ i delova parabole $y = x^2 - 2x$ na intervalima $(-\infty, 0)$ i $(1, +\infty) .$

Započni učenje

Privatni časovi

268.g

Beleške

Slični zadaci

Slični zadaci