Grafik funkcije y = x na 2 − 4|x| + 3

Prvo definišemo apsolutnu vrednost izraza $|x|$ po definiciji:

|x| = \begin{cases} x, & \text{za } x \ge 0 \\ -x, & \text{za } x < 0 \end{cases}

Zbog apsolutne vrednosti, funkciju razdvajamo na dva slučaja. Prvi slučaj je za $x \ge 0 ,$ kada je $|x| = x .$ Funkcija tada glasi:

y = x^2 - 4x + 3

Za ovaj deo grafika (desno od y-ose i na njoj), tražimo nule funkcije rešavanjem kvadratne jednačine $x^2 - 4x + 3 = 0 :$

x_{1,2} = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 12}}{2} \implies x_1 = 1, \quad x_2 = 3

Računamo koordinate temena (minimuma) za prvi slučaj. Pošto je $a = 1 > 0 ,$ funkcija ima minimum za $x = -\frac{b}{2a} :$

x_T = -\frac{-4}{2 \cdot 1} = 2 \implies y_T = 2^2 - 4 \cdot 2 + 3 = -1

Drugi slučaj je za $x < 0 ,$ kada je $|x| = -x .$ Funkcija tada dobija oblik:

y = x^2 - 4(-x) + 3 = x^2 + 4x + 3

Za ovaj deo grafika (levo od y-ose), tražimo nule rešavanjem jednačine $x^2 + 4x + 3 = 0 :$

x_{3,4} = \frac{-4 \pm \sqrt{16 - 12}}{2} \implies x_3 = -1, \quad x_4 = -3

Računamo koordinate temena za drugi slučaj:

x_T = -\frac{4}{2 \cdot 1} = -2 \implies y_T = (-2)^2 + 4 \cdot (-2) + 3 = -1

Presek sa y-osom dobijamo za $x = 0 :$

y = 0^2 - 4|0| + 3 = 3

Takođe, možemo primetiti da je funkcija parna, jer važi $f(-x) = f(x) .$ To znači da je grafik simetričan u odnosu na y-osu.

f(-x) = (-x)^2 - 4|-x| + 3 = x^2 - 4|x| + 3 = f(x)

Konačan grafik se sastoji od dve parabole koje se spajaju u tački $(0, 3) .$ Desna grana ima nule u $x = 1$ i $x = 3$ sa minimumom u $(2, -1) ,$ dok leva grana ima nule u $x = -1$ i $x = -3$ sa minimumom u $(-2, -1) .$

Započni učenje

Privatni časovi

269.a

Beleške

Slični zadaci

Slični zadaci