Grafik funkcije y = x na 2 + 4|x| + 3

Prvo definišemo izraz sa apsolutnom vrednošću:

|x| = \begin{cases} x, & \text{za } x \ge 0 \\ -x, & \text{za } x < 0 \end{cases}

Na osnovu definicije apsolutne vrednosti, funkciju delimo na dva slučaja. Prvi slučaj je za $x \ge 0 ,$ gde funkcija glasi:

y = x^2 + 4x + 3

Analiziramo kvadratnu funkciju za prvi slučaj. Računamo nule funkcije rešavanjem jednačine $x^2 + 4x + 3 = 0 :$

x_{1,2} = \frac{-4 \pm \sqrt{4^2 - 4 \cdot 1 \cdot 3}}{2} = \frac{-4 \pm 2}{2}

Dobijamo nule $x_1 = -1$ i $x_2 = -3 .$ Pošto ove vrednosti ne ispunjavaju uslov $x \ge 0 ,$ funkcija nema nule na ovom intervalu.

Računamo koordinate temena parabole za prvi slučaj:

x_T = -\frac{b}{2a} = -\frac{4}{2} = -2 \\ y_T = \frac{4ac - b^2}{4a} = \frac{12 - 16}{4} = -1

Teme parabole je u tački $T_1(-2, -1) ,$ što takođe ne pripada intervalu $x \ge 0 .$

Drugi slučaj je za $x < 0 ,$ gde funkcija glasi:

y = x^2 - 4x + 3

Računamo nule funkcije za drugi slučaj rešavanjem jednačine $x^2 - 4x + 3 = 0 :$

x_{1,2} = \frac{4 \pm \sqrt{(-4)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 3}}{2} = \frac{4 \pm 2}{2}

Dobijamo nule $x_1 = 3$ i $x_2 = 1 .$ Obe vrednosti ne ispunjavaju uslov $x < 0 ,$ pa ni na ovom intervalu funkcija nema nule.

Računamo koordinate temena parabole za drugi slučaj:

x_T = -\frac{b}{2a} = -\frac{-4}{2} = 2 \\ y_T = \frac{4ac - b^2}{4a} = \frac{12 - 16}{4} = -1

Teme parabole je u tački $T_2(2, -1) ,$ što takođe ne pripada intervalu $x < 0 .$

Određujemo presek sa y-osom, koji se dobija za $x = 0 :$

y = 0^2 + 4|0| + 3 = 3

Takođe, možemo primetiti da je funkcija parna, jer važi $f(-x) = (-x)^2 + 4|-x| + 3 = x^2 + 4|x| + 3 = f(x) .$ Zbog toga je njen grafik simetričan u odnosu na y-osu.

Zaključujemo da se grafik funkcije sastoji od dela parabole $y = x^2 + 4x + 3$ za $x \ge 0$ i dela parabole $y = x^2 - 4x + 3$ za $x < 0 .$ Obe grane polaze iz tačke $(0, 3)$ i rastu, pa je tačka $(0, 3)$ ujedno i minimum funkcije.

Započni učenje

Privatni časovi

269.b

Beleške

Slični zadaci

Slični zadaci