1085.

Korenovanje

TEKST ZADATKA

Uprosti numerički izraz i izračunaj njegovu vrednost:

2−12+1+211+62\frac{\sqrt{2}-1}{\sqrt{2}+1}+2\sqrt{11+6\sqrt{2}}
REŠENJE ZADATKA

Prvi korak je racionalizacija prvog člana izraza množenjem brojioca i imenioca sa 2−1. \sqrt{2}-1 .

2−12+1⋅2−12−1=(2−1)2(2)2−12\frac{\sqrt{2}-1}{\sqrt{2}+1} \cdot \frac{\sqrt{2}-1}{\sqrt{2}-1} = \frac{(\sqrt{2}-1)^2}{(\sqrt{2})^2 - 1^2}

Kvadriramo brojilac po formuli za kvadrat razlike i sređujemo imenilac:

2−22+12−1=3−22\frac{2 - 2\sqrt{2} + 1}{2 - 1} = 3 - 2\sqrt{2}

Sada transformišemo izraz pod drugim korenom 11+62 \sqrt{11+6\sqrt{2}} tako što ćemo ga predstaviti kao kvadrat binoma.

11+62=11+2⋅3⋅2=9+2⋅3⋅2+211+6\sqrt{2} = 11+2 \cdot 3 \cdot \sqrt{2} = 9 + 2 \cdot 3 \cdot \sqrt{2} + 2

Prepoznajemo da je ovo kvadrat binoma (3+2)2. (3+\sqrt{2})^2 .

9+2⋅3⋅2+2=(3+2)29 + 2 \cdot 3 \cdot \sqrt{2} + 2 = (3+\sqrt{2})^2

Korenujemo kvadrat binoma, vodeći računa da je rezultat apsolutna vrednost, koja je u ovom slučaju pozitivna:

2(3+2)2=2(3+2)=6+222\sqrt{(3+\sqrt{2})^2} = 2(3+\sqrt{2}) = 6 + 2\sqrt{2}

Sabiramo rezultate dobijene iz oba dela početnog izraza:

(3−22)+(6+22)(3 - 2\sqrt{2}) + (6 + 2\sqrt{2})

Poništavanjem suprotnih članova dobijamo konačan rezultat:

3+6=93 + 6 = 9

Balkan Tutor Sva Prava Zadržana © 2026

Politika privatnosti