Jednakost sa √(61 + 24√5) i racionalisanjem

Prvo ćemo srediti prvi razlomak unutar zagrade racionalizacijom imenioca. Množimo i brojilac i imenilac sa $3 + \sqrt{5} .$

\frac{4}{3 - \sqrt{5}} \cdot \frac{3 + \sqrt{5}}{3 + \sqrt{5}} = \frac{4(3 + \sqrt{5})}{3^2 - (\sqrt{5})^2} = \frac{4(3 + \sqrt{5})}{9 - 5}

Pošto je $9 - 5 = 4 ,$ skraćujemo četvorke i dobijamo vrednost prvog člana pre kvadriranja.

\frac{4(3 + \sqrt{5})}{4} = 3 + \sqrt{5}

Sada sredimo drugi razlomak. Množimo i brojilac i imenilac sa konjugovanim izrazom imenioca $5 + \sqrt{6} .$

\frac{6 - 5\sqrt{6}}{5 - \sqrt{6}} \cdot \frac{5 + \sqrt{6}}{5 + \sqrt{6}} = \frac{30 + 6\sqrt{6} - 25\sqrt{6} - 5 \cdot 6}{5^2 - (\sqrt{6})^2}

Sređivanjem brojioca dobijamo $30 - 30 - 19\sqrt{6} ,$ a imenilac je $25 - 6 = 19 .$

\frac{-19\sqrt{6}}{19} = -\sqrt{6}

Sada uvrštavamo dobijene vrednosti u levu stranu (L) početne jednakosti i kvadriramo izraze.

L = (3 + \sqrt{5})^2 - (-\sqrt{6})^2 = (9 + 6\sqrt{5} + 5) - 6

Sabiramo racionalne delove na levoj strani.

L = 14 + 6\sqrt{5} - 6 = 8 + 6\sqrt{5}

Sređujemo desnu stranu (D) jednakosti. Potrebno je transformisati izraz pod korenom $61 + 24\sqrt{5}$ u kvadrat binoma oblika $(a+b)^2 .$

61 + 24\sqrt{5} = 61 + 2 \cdot 12 \cdot \sqrt{5} = 61 + 2 \cdot \sqrt{144 \cdot 5} = 61 + 2\sqrt{720}

Tražimo dva broja čiji je zbir 61, a proizvod 720. To su brojevi 45 i 16.

61 + 24\sqrt{5} = 45 + 16 + 2\sqrt{45 \cdot 16} = (\sqrt{45} + \sqrt{16})^2 = (3\sqrt{5} + 4)^2

Uvrštavamo transformisani koren u desnu stranu jednakosti.

D = 2\sqrt{(4 + 3\sqrt{5})^2} = 2(4 + 3\sqrt{5}) = 8 + 6\sqrt{5}

Upoređivanjem leve i desne strane zaključujemo da je jednakost dokazana.

L = 8 + 6\sqrt{5}, \quad D = 8 + 6\sqrt{5} \implies L = D

48.g