1134.

Korenovanje

TEKST ZADATKA

Dokazati da važi sledeća jednakost:

2−12+1=10−7210+723\frac{\sqrt{2} - 1}{\sqrt{2} + 1} = \sqrt[3]{\frac{10 - 7\sqrt{2}}{10 + 7\sqrt{2}}}
REŠENJE ZADATKA

Racionališemo levu stranu jednakosti množenjem brojioca i imenioca sa 2−1. \sqrt{2} - 1 .

2−12+1⋅2−12−1=(2−1)2(2)2−12\frac{\sqrt{2} - 1}{\sqrt{2} + 1} \cdot \frac{\sqrt{2} - 1}{\sqrt{2} - 1} = \frac{(\sqrt{2} - 1)^2}{(\sqrt{2})^2 - 1^2}

Sređujemo izraz na levoj strani koristeći kvadrat binoma u brojiocu i razliku kvadrata u imeniocu.

2−22+12−1=3−22\frac{2 - 2\sqrt{2} + 1}{2 - 1} = 3 - 2\sqrt{2}

Sada transformišemo desnu stranu. Da bismo se oslobodili trećeg korena, proveravamo da li je izraz pod korenom zapravo kub nekog broja. Prvo racionališemo izraz pod korenom.

10−7210+72⋅10−7210−72=(10−72)2100−(72)2\frac{10 - 7\sqrt{2}}{10 + 7\sqrt{2}} \cdot \frac{10 - 7\sqrt{2}}{10 - 7\sqrt{2}} = \frac{(10 - 7\sqrt{2})^2}{100 - (7\sqrt{2})^2}

Računamo vrednost imenioca.

100−49⋅2=100−98=2100 - 49 \cdot 2 = 100 - 98 = 2

Sređujemo brojilac kvadriranjem binoma.

100−1402+49⋅2=100−1402+98=198−1402100 - 140\sqrt{2} + 49 \cdot 2 = 100 - 140\sqrt{2} + 98 = 198 - 140\sqrt{2}

Vraćamo dobijene vrednosti u razlomak i delimo sa 2.

198−14022=99−702\frac{198 - 140\sqrt{2}}{2} = 99 - 70\sqrt{2}

Sada proveravamo da li je (3−22)3 (3 - 2\sqrt{2})^3 jednako dobijenom izrazu 99−702. 99 - 70\sqrt{2} .

(3−22)3=33−3⋅32⋅22+3⋅3⋅(22)2−(22)3(3 - 2\sqrt{2})^3 = 3^3 - 3 \cdot 3^2 \cdot 2\sqrt{2} + 3 \cdot 3 \cdot (2\sqrt{2})^2 - (2\sqrt{2})^3

Računamo članove kuba binoma.

27−542+9⋅8−162=27−542+72−162=99−70227 - 54\sqrt{2} + 9 \cdot 8 - 16\sqrt{2} = 27 - 54\sqrt{2} + 72 - 16\sqrt{2} = 99 - 70\sqrt{2}

Pošto je 99−702=(3−22)3, 99 - 70\sqrt{2} = (3 - 2\sqrt{2})^3 , desna strana postaje:

(3−22)33=3−22\sqrt[3]{(3 - 2\sqrt{2})^3} = 3 - 2\sqrt{2}

Kako su leva i desna strana jednake 3−22, 3 - 2\sqrt{2} , zaključujemo da je početna jednakost dokazana.

3−22=3−223 - 2\sqrt{2} = 3 - 2\sqrt{2}

Balkan Tutor Sva Prava Zadržana © 2026

Politika privatnosti