Jednakost sa trećim korenom iz (10 − 7√2)/(10 + 7√2)

Racionališemo levu stranu jednakosti množenjem brojioca i imenioca sa $\sqrt{2} - 1 .$

\frac{\sqrt{2} - 1}{\sqrt{2} + 1} \cdot \frac{\sqrt{2} - 1}{\sqrt{2} - 1} = \frac{(\sqrt{2} - 1)^2}{(\sqrt{2})^2 - 1^2}

Sređujemo izraz na levoj strani koristeći kvadrat binoma u brojiocu i razliku kvadrata u imeniocu.

\frac{2 - 2\sqrt{2} + 1}{2 - 1} = 3 - 2\sqrt{2}

Sada transformišemo desnu stranu. Da bismo se oslobodili trećeg korena, proveravamo da li je izraz pod korenom zapravo kub nekog broja. Prvo racionališemo izraz pod korenom.

\frac{10 - 7\sqrt{2}}{10 + 7\sqrt{2}} \cdot \frac{10 - 7\sqrt{2}}{10 - 7\sqrt{2}} = \frac{(10 - 7\sqrt{2})^2}{100 - (7\sqrt{2})^2}

Računamo vrednost imenioca.

100 - 49 \cdot 2 = 100 - 98 = 2

Sređujemo brojilac kvadriranjem binoma.

100 - 140\sqrt{2} + 49 \cdot 2 = 100 - 140\sqrt{2} + 98 = 198 - 140\sqrt{2}

Vraćamo dobijene vrednosti u razlomak i delimo sa 2.

\frac{198 - 140\sqrt{2}}{2} = 99 - 70\sqrt{2}

Sada proveravamo da li je $(3 - 2\sqrt{2})^3$ jednako dobijenom izrazu $99 - 70\sqrt{2} .$

(3 - 2\sqrt{2})^3 = 3^3 - 3 \cdot 3^2 \cdot 2\sqrt{2} + 3 \cdot 3 \cdot (2\sqrt{2})^2 - (2\sqrt{2})^3

Računamo članove kuba binoma.

27 - 54\sqrt{2} + 9 \cdot 8 - 16\sqrt{2} = 27 - 54\sqrt{2} + 72 - 16\sqrt{2} = 99 - 70\sqrt{2}

Pošto je $99 - 70\sqrt{2} = (3 - 2\sqrt{2})^3 ,$ desna strana postaje:

\sqrt[3]{(3 - 2\sqrt{2})^3} = 3 - 2\sqrt{2}

Kako su leva i desna strana jednake $3 - 2\sqrt{2} ,$ zaključujemo da je početna jednakost dokazana.

3 - 2\sqrt{2} = 3 - 2\sqrt{2}

Započni učenje

Online časovi

48.d

Beleške

Slični zadaci

Slični zadaci