1133.

Korenovanje

TEKST ZADATKA

Dokazati da važi sledeća jednakost sa korenima:

(4+15)(10−6)4−15=2(4 + \sqrt{15})(\sqrt{10} - \sqrt{6})\sqrt{4 - \sqrt{15}} = 2
REŠENJE ZADATKA

Primetimo da u izrazu imamo član (4+15) (4 + \sqrt{15}) i koren 4−15. \sqrt{4 - \sqrt{15}} . Da bismo ih lakše kombinovali, možemo prvi član zapisati kao koren kvadrata tog broja.

4+15=(4+15)24 + \sqrt{15} = \sqrt{(4 + \sqrt{15})^2}

Sada prepisujemo početni izraz tako što grupišemo korene pod jedan zajednički koren.

(4+15)2⋅(4−15)⋅(10−6)=2\sqrt{(4 + \sqrt{15})^2 \cdot (4 - \sqrt{15})} \cdot (\sqrt{10} - \sqrt{6}) = 2

Unutar prvog korena koristimo osobinu stepenovanja da bismo prepoznali razliku kvadrata.

(4+15)⋅(4+15)⋅(4−15)⋅(10−6)\sqrt{(4 + \sqrt{15}) \cdot (4 + \sqrt{15}) \cdot (4 - \sqrt{15})} \cdot (\sqrt{10} - \sqrt{6})

Primenjujemo formulu za razliku kvadrata (a+b)(a−b)=a2−b2 (a+b)(a-b) = a^2 - b^2 na poslednja dva faktora pod korenom.

(4+15)⋅(42−(15)2)⋅(10−6)\sqrt{(4 + \sqrt{15}) \cdot (4^2 - (\sqrt{15})^2)} \cdot (\sqrt{10} - \sqrt{6})

Računamo vrednost u zagradi: 16−15=1. 16 - 15 = 1 .

(4+15)⋅1⋅(10−6)=4+15⋅(10−6)\sqrt{(4 + \sqrt{15}) \cdot 1} \cdot (\sqrt{10} - \sqrt{6}) = \sqrt{4 + \sqrt{15}} \cdot (\sqrt{10} - \sqrt{6})

Iz drugog faktora (10−6) (\sqrt{10} - \sqrt{6}) izvlačimo zajednički faktor 2. \sqrt{2} .

4+15⋅2⋅(5−3)\sqrt{4 + \sqrt{15}} \cdot \sqrt{2} \cdot (\sqrt{5} - \sqrt{3})

Unosimo broj 2 pod koren kako bismo sredili prvi deo izraza.

2(4+15)⋅(5−3)=8+215⋅(5−3)\sqrt{2(4 + \sqrt{15})} \cdot (\sqrt{5} - \sqrt{3}) = \sqrt{8 + 2\sqrt{15}} \cdot (\sqrt{5} - \sqrt{3})

Prepoznajemo da je izraz 8+215 8 + 2\sqrt{15} zapravo kvadrat binoma (5+3)2, (\sqrt{5} + \sqrt{3})^2 , jer je (5)2+253+(3)2=5+215+3=8+215. (\sqrt{5})^2 + 2\sqrt{5}\sqrt{3} + (\sqrt{3})^2 = 5 + 2\sqrt{15} + 3 = 8 + 2\sqrt{15} .

(5+3)2⋅(5−3)\sqrt{(\sqrt{5} + \sqrt{3})^2} \cdot (\sqrt{5} - \sqrt{3})

Korenujemo kvadrat i ponovo dobijamo razliku kvadrata.

(5+3)(5−3)=(5)2−(3)2(\sqrt{5} + \sqrt{3})(\sqrt{5} - \sqrt{3}) = (\sqrt{5})^2 - (\sqrt{3})^2

Konačnim računanjem dobijamo traženi rezultat.

5−3=25 - 3 = 2

Balkan Tutor Sva Prava Zadržana © 2026

Politika privatnosti