Formula za dvostruki koren: dokaz

Pretpostavljamo da su ispunjeni uslovi $A \geqslant 0, B \geqslant 0, A^2 \geqslant B .$ Označimo desnu stranu jednakosti sa $X$ i kvadrirajmo je kako bismo proverili da li ćemo dobiti izraz pod korenom leve strane.

X = \sqrt{\frac{A + \sqrt{A^2 - B}}{2}} \pm \sqrt{\frac{A - \sqrt{A^2 - B}}{2}}

Kvadriramo izraz koristeći formulu za kvadrat binoma $(a \pm b)^2 = a^2 \pm 2ab + b^2 :$

X^2 = \left( \sqrt{\frac{A + \sqrt{A^2 - B}}{2}} \right)^2 \pm 2 \sqrt{\frac{A + \sqrt{A^2 - B}}{2}} \sqrt{\frac{A - \sqrt{A^2 - B}}{2}} + \left( \sqrt{\frac{A - \sqrt{A^2 - B}}{2}} \right)^2

Uprošćavamo kvadrate korena i kombinujemo srednji član pod jedan koren koristeći razliku kvadrata:

X^2 = \frac{A + \sqrt{A^2 - B}}{2} \pm 2 \sqrt{\frac{(A + \sqrt{A^2 - B})(A - \sqrt{A^2 - B})}{4}} + \frac{A - \sqrt{A^2 - B}}{2}

Saberemo prvi i treći sabirak. Primetimo da se članovi sa $\sqrt{A^2 - B}$ potiru:

\frac{A + \sqrt{A^2 - B} + A - \sqrt{A^2 - B}}{2} = \frac{2A}{2} = A

Sredimo izraz pod korenom u srednjem članu koristeći $(a+b)(a-b) = a^2 - b^2 :$

2 \sqrt{\frac{A^2 - (\sqrt{A^2 - B})^2}{4}} = 2 \sqrt{\frac{A^2 - (A^2 - B)}{4}} = 2 \sqrt{\frac{B}{4}} = 2 \cdot \frac{\sqrt{B}}{2} = \sqrt{B}

Kombinovanjem rezultata dobijamo vrednost kvadrata desne strane:

X^2 = A \pm \sqrt{B}

Korenovanjem obe strane (uzimajući u obzir uslov da je izraz pozitivan), dobijamo polaznu formulu:

X = \sqrt{A \pm \sqrt{B}}

Započni učenje

Online časovi

26

Beleške

Slični zadaci

Slični zadaci