6352. Kombinacije i kombinacije sa ponavljanjem

Prave seku pravougaonik (leže unutar njega). Uz $n$ „uspravnih” pravih računamo i dve uspravne stranice pravougaonika: ukupno $n+2$ uspravnih linija; isto tako ima $n+2$ vodoravnih.

Svaki pravougaonik na slici je određen svojom levom i desnom stranicom (dve od $n+2$ uspravnih linija) i gornjom i donjom stranicom (dve od $n+2$ vodoravnih). Bitno je samo koje dve linije biramo, ne redosled. Kombinacija (bez ponavljanja) $k$ -te klase skupa od $n$ elemenata je svaki $k$ -točlani podskup tog skupa; njihov broj je $C_n^k=\binom nk=\frac{n!}{k!(n-k)!} .$ Za razliku od varijacija, ovde redosled nije bitan: $\{a,b\}$ i $\{b,a\}$ su isti izbor.

\binom{n+2}2\ \text{(uspravne)},\qquad\binom{n+2}2\ \text{(vodoravne)}

Pravilo proizvoda: kada se izbor vrši u koracima, ukupan broj je proizvod brojeva mogućnosti po koracima.

\binom{n+2}2\cdot\binom{n+2}2=\binom{n+2}2^{2}=\frac{(n+1)^2(n+2)^2}{4}

Provera: za $n=1$ pravougaonik je podeljen na $4$ dela, a pravougaonika ima $3\cdot3=9$ ( $4$ mala, $4$ sastavljena od po dva i ceo).

Dakle, dobija se $\binom{n+2}2^2=\frac{(n+1)^2(n+2)^2}4$ pravougaonika.

Započni učenje

Privatni časovi

489

Beleške

Slični zadaci

Slični zadaci