Skraćivanje razlomka sa 3x na 2 + 2x − 8

Da bismo skratili razlomak, potrebno je da rastavimo kvadratne trinome u brojiocu i imeniocu na linearne činioce koristeći formulu $ax^2 + bx + c = a(x - x_1)(x - x_2) .$

Prvo rešavamo kvadratnu jednačinu u brojiocu $3x^2 + 2x - 8 = 0 .$ Računamo diskriminantu i njena rešenja primenom formule.

x_{1,2} = \frac{-2 \pm \sqrt{2^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-8)}}{2 \cdot 3} = \frac{-2 \pm \sqrt{4 + 96}}{6} = \frac{-2 \pm \sqrt{100}}{6}

Rešenja jednačine u brojiocu su:

x_1 = \frac{-2 + 10}{6} = \frac{8}{6} = \frac{4}{3}, \quad x_2 = \frac{-2 - 10}{6} = \frac{-12}{6} = -2

Zapisujemo brojilac u faktorisanom obliku, ubacujući dobijena rešenja u formulu.

3x^2 + 2x - 8 = 3\left(x - \frac{4}{3}\right)(x - (-2)) = \left(3x - 3 \cdot \frac{4}{3}\right)(x + 2) = (3x - 4)(x + 2)

Sada rešavamo kvadratnu jednačinu u imeniocu $12x^2 - 7x - 12 = 0 .$

x_{1,2} = \frac{-(-7) \pm \sqrt{(-7)^2 - 4 \cdot 12 \cdot (-12)}}{2 \cdot 12} = \frac{7 \pm \sqrt{49 + 576}}{24} = \frac{7 \pm \sqrt{625}}{24}

Rešenja jednačine u imeniocu su:

x_1 = \frac{7 + 25}{24} = \frac{32}{24} = \frac{4}{3}, \quad x_2 = \frac{7 - 25}{24} = \frac{-18}{24} = -\frac{3}{4}

Zapisujemo imenilac u faktorisanom obliku. Množilac $12$ možemo rastaviti kao $3 \cdot 4$ kako bismo eliminisali razlomke u zagradama.

12x^2 - 7x - 12 = 12\left(x - \frac{4}{3}\right)\left(x - \left(-\frac{3}{4}\right)\right) = 3\left(x - \frac{4}{3}\right) \cdot 4\left(x + \frac{3}{4}\right) = (3x - 4)(4x + 3)

Zamenjujemo faktorisani brojilac i imenilac u početni razlomak.

\frac{3x^2 + 2x - 8}{12x^2 - 7x - 12} = \frac{(3x - 4)(x + 2)}{(3x - 4)(4x + 3)}

Skraćujemo razlomak sa zajedničkim činiocem $3x - 4$ (uz uslov da je $x \neq \frac{4}{3}$ i $x \neq -\frac{3}{4}$ kako bi imenilac bio različit od nule) i dobijamo konačno rešenje.

\frac{x + 2}{4x + 3}

Započni učenje

Privatni časovi

189.a

Beleške

Slični zadaci

Slični zadaci