1519.

Rastavljanje kvadratnog trinoma na linearne činioce

TEKST ZADATKA

Skratiti razlomke (zadaci 188-189):

2x2−5x+33x2−5x+2\frac{2x^2 - 5x + 3}{3x^2 - 5x + 2}
REŠENJE ZADATKA

Da bismo skratili razlomak, potrebno je da rastavimo kvadratne trinome u brojiocu i imeniocu na linearne činioce koristeći formulu ax2+bx+c=a(x−x1)(x−x2), ax^2 + bx + c = a(x - x_1)(x - x_2) , gde su x1 x_1 i x2 x_2 rešenja odgovarajuće kvadratne jednačine.

Prvo rešavamo kvadratnu jednačinu u brojiocu da bismo našli njena rešenja:

2x2−5x+3=02x^2 - 5x + 3 = 0

Računamo rešenja koristeći formulu za kvadratnu jednačinu:

x1,2=−(−5)±(−5)2−4⋅2⋅32⋅2=5±25−244=5±14x_{1,2} = \frac{-(-5) \pm \sqrt{(-5)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 3}}{2 \cdot 2} = \frac{5 \pm \sqrt{25 - 24}}{4} = \frac{5 \pm 1}{4}

Rešenja brojioca su:

x1=5+14=32,x2=5−14=1x_1 = \frac{5 + 1}{4} = \frac{3}{2}, \quad x_2 = \frac{5 - 1}{4} = 1

Zapisujemo brojilac u rastavljenom obliku:

2x2−5x+3=2(x−32)(x−1)=(2x−3)(x−1)2x^2 - 5x + 3 = 2\left(x - \frac{3}{2}\right)(x - 1) = (2x - 3)(x - 1)

Sada rešavamo kvadratnu jednačinu u imeniocu:

3x2−5x+2=03x^2 - 5x + 2 = 0

Računamo rešenja imenioca na isti način:

x1,2=−(−5)±(−5)2−4⋅3⋅22⋅3=5±25−246=5±16x_{1,2} = \frac{-(-5) \pm \sqrt{(-5)^2 - 4 \cdot 3 \cdot 2}}{2 \cdot 3} = \frac{5 \pm \sqrt{25 - 24}}{6} = \frac{5 \pm 1}{6}

Rešenja imenioca su:

x1=5+16=1,x2=5−16=46=23x_1 = \frac{5 + 1}{6} = 1, \quad x_2 = \frac{5 - 1}{6} = \frac{4}{6} = \frac{2}{3}

Zapisujemo imenilac u rastavljenom obliku:

3x2−5x+2=3(x−1)(x−23)=(x−1)(3x−2)3x^2 - 5x + 2 = 3(x - 1)\left(x - \frac{2}{3}\right) = (x - 1)(3x - 2)

Vraćamo rastavljene oblike u početni razlomak:

2x2−5x+33x2−5x+2=(2x−3)(x−1)(x−1)(3x−2)\frac{2x^2 - 5x + 3}{3x^2 - 5x + 2} = \frac{(2x - 3)(x - 1)}{(x - 1)(3x - 2)}

Skraćujemo zajednički činilac (x−1) (x - 1) uz uslov da je imenilac različit od nule (x≠1 x \neq 1 i x≠23 x \neq \frac{2}{3} ), i dobijamo konačan rezultat:

2x−33x−2\frac{2x - 3}{3x - 2}

Balkan Tutor Sva Prava Zadržana © 2026

Politika privatnosti