1520.

196.v

TEKST ZADATKA

U jednačinama: x2−3x+k−2=0 x^2 - 3x + k - 2 = 0 i x2−4x+2k−1=0 x^2 - 4x + 2k - 1 = 0 odrediti parametar k k tako da jednačine imaju zajedničko rešenje.

REŠENJE ZADATKA

Neka je x0 x_0 zajedničko rešenje datih jednačina. Tada x0 x_0 mora da zadovoljava obe jednačine istovremeno, pa možemo postaviti sistem:

{x02−3x0+k−2=0x02−4x0+2k−1=0\begin{cases} x_0^2 - 3x_0 + k - 2 = 0 \\ x_0^2 - 4x_0 + 2k - 1 = 0 \end{cases}

Da bismo eliminisali kvadratni član x02, x_0^2 , oduzećemo drugu jednačinu od prve:

(x02−3x0+k−2)−(x02−4x0+2k−1)=0(x_0^2 - 3x_0 + k - 2) - (x_0^2 - 4x_0 + 2k - 1) = 0

Oslobađamo se zagrada i menjamo znakove članovima druge jednačine:

x02−3x0+k−2−x02+4x0−2k+1=0x_0^2 - 3x_0 + k - 2 - x_0^2 + 4x_0 - 2k + 1 = 0

Sređivanjem dobijenog izraza dolazimo do linearne zavisnosti između x0 x_0 i parametra k: k :

x0−k−1=0  ⟹  x0=k+1x_0 - k - 1 = 0 \implies x_0 = k + 1

Zamenjujemo dobijenu vrednost za x0 x_0 u prvu jednačinu (isti rezultat bismo dobili i zamenom u drugu):

(k+1)2−3(k+1)+k−2=0(k + 1)^2 - 3(k + 1) + k - 2 = 0

Kvadriramo binom i oslobađamo se zagrada:

k2+2k+1−3k−3+k−2=0k^2 + 2k + 1 - 3k - 3 + k - 2 = 0

Kada grupišemo slične članove, dobijamo jednostavnu kvadratnu jednačinu po k: k :

k2−4=0k^2 - 4 = 0

Rešavanjem ove jednačine dobijamo dve moguće vrednosti za parametar k: k :

k2=4  ⟹  k1=2,k2=−2k^2 = 4 \implies k_1 = 2, \quad k_2 = -2

Dakle, date kvadratne jednačine će imati zajedničko rešenje ukoliko parametar k k pripada skupu:

k∈{−2,2}k \in \{-2, 2\}