1520. Rastavljanje kvadratnog trinoma na linearne činioce

Neka je $x_0$ zajedničko rešenje datih jednačina. Tada $x_0$ mora da zadovoljava obe jednačine istovremeno, pa možemo postaviti sistem:

\begin{cases} x_0^2 - 3x_0 + k - 2 = 0 \\ x_0^2 - 4x_0 + 2k - 1 = 0 \end{cases}

Da bismo eliminisali kvadratni član $x_0^2 ,$ oduzećemo drugu jednačinu od prve:

(x_0^2 - 3x_0 + k - 2) - (x_0^2 - 4x_0 + 2k - 1) = 0

Oslobađamo se zagrada i menjamo znakove članovima druge jednačine:

x_0^2 - 3x_0 + k - 2 - x_0^2 + 4x_0 - 2k + 1 = 0

Sređivanjem dobijenog izraza dolazimo do linearne zavisnosti između $x_0$ i parametra $k :$

x_0 - k - 1 = 0 \implies x_0 = k + 1

Zamenjujemo dobijenu vrednost za $x_0$ u prvu jednačinu (isti rezultat bismo dobili i zamenom u drugu):

(k + 1)^2 - 3(k + 1) + k - 2 = 0

Kvadriramo binom i oslobađamo se zagrada:

k^2 + 2k + 1 - 3k - 3 + k - 2 = 0

Kada grupišemo slične članove, dobijamo jednostavnu kvadratnu jednačinu po $k :$

k^2 - 4 = 0

Rešavanjem ove jednačine dobijamo dve moguće vrednosti za parametar $k :$

k^2 = 4 \implies k_1 = 2, \quad k_2 = -2

Dakle, date kvadratne jednačine će imati zajedničko rešenje ukoliko parametar $k$ pripada skupu:

k \in \{-2, 2\}

1520.Rastavljanje kvadratnog trinoma na linearne činioce